330x=1(mod7),得C3=1 210x=1(mod11),得c=1. 代入同余方程组的解的公式,得 x=1×3×462+5×1×385+4×1×330+10×1×210(mod2310) =2111(mod2310) 由实际问题的意义,x应取正数,所以兵数为 x=2111+2310kk非负整数)。 第2章习题解答 习题2.1 1设G-{4=n),P∈Z,dtA=1证明对矩阵乘法构成群 证要证满足封闭性结合律单位元逆元 封闭性:A,B∈G,deAB)=(detA(detB)=1所以ABeG 结合律:矩阵乘法满足结合律 单位元单位矩阵l,detl=1,所以∈G 逆元A∈GA1-1A·=A,A的件随矩阵A的元素仍为整数且 det A det(A-)=(detA)=1所以A∈G 因而G是群
330x=1(mod7), 得 c3=1. 210x=1(mod11), 得 c4=1. 代入同余方程组的解的公式，得 x=1×3×462+5×1×385+4×1×330+10×1×210(mod2310) =2111(mod2310). 由实际问题的意义，x 应取正数，所以兵数为 x=2111+2310k(k 非负整数)。 第 2 章习题解答 习题 2.1
2.Q={±E,±l,±土F,E= }-": 证明Q对矩阵乘法构成群 证封闭性:易证12=72=k2=-E, =K=-M,K=1=-K,K=J=-Ⅸ所以封闭性成立 结合律矩阵乘法满足结合律 单位元:E 逆元:(1=-1,71=-J,K1=-K均在Q中 所以Q是群 3设G={f(x) ax +b ,b,C,a∈R 证明O关于变换的复合构成群 证封闭性:任取f1(x) cx+d. a(x) aax+ 通过计算可得 3(x)=当x+b b 其中 c x+d f1 diller d2 由于 3b2 b1a2 b2 1,所以=2∈G dilea d 结合律:变换的复合满足结合律 单位元:单位元为e(x)=x 1·x+0 逆元:任取f(x) ax+b ∈G,则f(x的逆元为 +d a'x+b 其中 c'x+d' 综上,C是群 4.举例说明,把定理3中条件S3’改为:对任意a有右逆元a:aaB=e2,则 定理不成立。 证只需举一反例。 设G{a,b,乘法表如下:
4. 举例说明，把定理 3 中条件 S3’改为：对任意 a 有右逆元 aR -1：a aR -1 =eL ，则 定理不成立。 证 只需举一反例。 设 G={a,b}，乘法表如下：
b a 可验证满足结合律,故(G,×)是半群 左单位元为a 右逆元:an2=a,bn=a。 但无单位元,所以G不是群。 5.M为含幺半群,证明a的充分必要条件是abaF=a和aba 证必要性:将b代入即可得 充分性:利用结合律作以下运算: ab=ab laba)=(aba)ba=aba=e, ba=(ab'a)ba=ab (aba=aba=e 所以b=a。 6.列出S3的乘法表。 解参看例8。练习置换的乘法。 作以下乘法表,注意乘法的左右次序。 0 0 0 5 4 05 06 2 2
× a b a a b b a b 可验证满足结合律，故（G,×）是半群； 左单位元为 a； 右逆元：aR -1 =a，bR -1 =a 。 但无单位元，所以 G 不是群。 5. M 为含幺半群，证明 b=a -1的充分必要条件是 aba=a 和 ab 2 a=e。 证 必要性：将 b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab 2 a)=(aba)b 2 a=ab 2 a=e， ba=(ab 2 a)ba=ab 2 (aba)=ab 2 a=e， 所以 b=a -1。 6. 列出 S3的乘法表。 解 参看例 8。练习置换的乘法。 作以下乘法表，注意乘法的左右次序。 · σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 σ1 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 σ2 σ2 σ1 σ5 σ6 σ3 σ4 σ3 σ3 σ6 σ1 σ5 σ4 σ2 σ4 σ4 σ5 σ6 σ1 σ2 σ3 σ5 σ5 σ4 σ2 σ3 σ6 σ1 σ6 σ6 σ3 σ4 σ2 σ1 σ5
7.有限代数系(G,·)中有单位元1,则G为群的充分必要条件是 (1)乘法表中每行每列包含每一个元素; (2)对G中任意两个元素x,y,在乘法表中任一个以1,x,y为顶点的长方形 上的第四个顶点的元素只依赖于x,y,而与1的选择无关 证由于G有有限个元素,可设G={a,a,,an}。可以想象,可作出一个乘法表, 表头上面和左边为这n个元素:a1,a2,..,an。先证必要性 必要性:(1)由乘法表的规律,第i行的元素为:aa1,aa2,,aan。由aa1=a1a2 和消去律,得a=a2,矛盾。因而aa1≠aa2。所以第i行的元素互不相同。从而 有{aa,aa2,,aan}=G, 即第i行包含G的每一个元素。 (2)在乘法表中任取一个1,在同一列中必有一个x,在同一行中必有一个y 设第四个顶点的元素为z,见下图, � 则有 所以 z=bc=xy。与1的选择无关。 充分性:封闭性:由乘法表保证。 在证明结合律之前,我们由乘法表的性质(1)、(2),对于乘法表中以1、x、 y、z为顶点的长方形,必有
7. 有限代数系（G，·）中有单位元 1，则 G 为群的充分必要条件是 （1）乘法表中每行每列包含每一个元素； （2）对 G 中任意两个元素 x, y，在乘法表中任一个以 1, x, y 为顶点的长方形 上的第四个顶点的元素只依赖于 x, y ，而与 1 的选择无关。 证 由于 G 有有限个元素，可设 G={a1,a2,...,an}。可以想象，可作出一个乘法表， 表头上面和左边为这 n 个元素：a1,a2,...,an。先证必要性。 必要性：（1）由乘法表的规律，第 i 行的元素为：aia1, aia2,..., aian 。由 aia1=aia2 和消去律，得 a1=a2，矛盾。因而 aia1≠aia2。所以第 i 行的元素互不相同。从而 有{ aia1, aia2,..., aian}=G， 即第 i 行包含 G 的每一个元素。 （2）在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行中必有一个 y， 设第四个顶点的元素为 z，见下图， � ..........a -1 .........................c................... ...... a ...... b ...... ........................................................... .........1............................y................... ............................................................ .........x............................z................... ............................................................ 则有 x=ba-1 , y=ac, 所以 z=bc=xy。与 1 的选择无关。 充分性：封闭性：由乘法表保证。 在证明结合律之前，我们由乘法表的性质（1）、（2），对于乘法表中以 1、x、 y、z 为顶点的长方形，必有
z=xy。下证结合律 结合律:任取x,y,z。要证(xy)z=x(yz) 在乘法表中任取一个1,在同一列中必有一个x,在同一行中必有一个y,则第 四个顶点的元素为xy。在y的同一列中必有一个1,与这个1同一行中必有一个 z,见下图, � Z 我们来看元素w的值 对以1、x、yz、W为顶点的长方形,有w=x(yz) 对以1、xy、z、W为顶点的长方形,有w=(xy)z 所以(xy)z=x(yz),即结合律成立。 单位元:题设。 逆元:由(1)保证 习题2.2
z=xy。下证结合律。 结合律：任取 x，y，z。要证 (xy)z=x(yz). 在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行中必有一个 y，则第 四个顶点的元素为 xy。在 y 的同一列中必有一个 1，与这个 1 同一行中必有一个 z，见下图， � ............................................................. ........ ...... ...... ...... ...... . ...... ...... . ...... . ............................................................. ......... .........1............................y..................yz.. ..... ............................................................. ......... .........x............................xy................w.... .... ............................................................. ......... ........................................1................ z......... ............................................................. .......... 我们来看元素 w 的值： 对以 1、x、yz、w 为顶点的长方形，有 w=x(yz), 对以 1、xy、z、w 为顶点的长方形，有 w=(xy)z, 所以 (xy)z=x(yz)，即结合律成立。 单位元：题设。 逆元：由（1）保证。 习题 2.2