4.S阶实对称矩阵的集合定义~A~B3可逆阵使PAP=B E明是等价关系并求4 证易证~满足等价关系的三个条件(略) 由于8-02 <A+isn 所以m+ 5.举一个偏序集但不是全序集的例子,并画图 解考虑到画图的方便,可举有限集的例子,例如:有限集的幂集对包含关系所 构成的偏序集,有限整数集对整除关系所构成的偏序集。 详解略。 6已知两个偏序集的图形分别写出偏序集的偏序关系 解按偏序的定义,可直接列出有偏序关系的元素对 (a)的偏序集可表为(S,s)其中 S-a, b, c, d,e,f, g), s-ab, a<c, b<d, be, c<f, c<g) ()的偏序集可表为r,,其中 T=a, b, c, d, e,f), s=a<b, a<c, b<d, be, d<f, e<f
5. 举一个偏序集但不是全序集的例子，并画图。 解 考虑到画图的方便，可举有限集的例子，例如：有限集的幂集对包含关系所 构成的偏序集，有限整数集对整除关系所构成的偏序集。 详解略
7.用两种方法定义z的序使它成为一个良序集 解除了普通序外我们可重新定义序首先要使整个集合有最小元例如 (1)定义z中的偏序关系≤为 a<b刚<P或=且a<b, b台a=b 其中右端的<,=为普通的序关系 按此序排列的整数集合为 0,-1,1,-2,2,-3,3,…… 下证它是良序集首先显然他它是全序集其次证明它的任一子集都有最小元 设$是(z,s的任一非空子集任取a∈S由于在(z,s冲≤a的元素为有限个故在S 中≤a的元素也为有限个,可找到最小元此最小元也是的最小元 所以z,是良序集 (2)(1)定义z中的偏序关系≤为 a<b台k-1<p-1或k-1--且a<b b今a=b 其中右端的<,=为普通的序关系 按此序排列的整数集合为 1,0,2,-1,3,-2,4,-3,5,…… 类似可证(2,是良序集 第1章习题1.4 1.a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q 解方法一、辗转相除法。列以下算式: a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17 由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339 然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以p=4,q=-5
第 1 章 习题 1.4 1. a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和 p, q。 解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17 由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5
方法二、大衍求一术。 公式与计算表格如下 d K rk-2=qkrk-Itrk 1 a=493 b=391 102 1 3(n) 17 4 4(n+1) 由此求得n=3 p=(-1)"cn=4,q=(-1)"d=-5。 2.求n=504的标准分解式和φ(n). 解504=2×32×7 φ(504)=504(1-1/2)(1-1/3)(1-1/7)=144. 3.一队伍成10行、15行、18行、24行均成方形,问需要多少人? 解求最小公倍数:作以下算式 2231824
方法二、大衍求一术。 公式与计算表格如下： k qk rk-2=qkrk-1+rk rk ck ck=qkck-1+ck-2 dk dk=qkdk-1+dk-2 -1 a=493 1 0 0 b=391 0 1 1 1 102 1 1 2 3 85 3 4 3(n) 1 17 4 5 4(n+1) 5 0 由此求得 n=3 d=(a,b)=17, p=(-1)n-1 cn=4, q=(-1)n dn=-5。 2. 求 n=504 的标准分解式和φ(n). 解 504=23×3 2×7. φ(504)=504(1-1/2)(1-1/3)(1-1/7)=144. 3. 一队伍成 10 行、15 行、18 行、24 行均成方形，问需要多少人？ 解 求最小公倍数：作以下算式 5 | 10, 15, 18, 24 2 | 2 3 18 24 3 | 1 3 9 12
1134 得[10,15,18,24]=5×2×3×3×4=360。 所以需要360k(k>0)人。 4.方程ax+by=c在整数范围内有解的充分必要条件是(a,b)|c 证必要性:由于(a,b)|a,(a,b)|b,所以(a,b)|ax+by=c 充分性:设d=(a,b),于是存在整数p,q使pa+qb=d。 又由dc,可设c=dh。因而有 aph+bgh=dh=c 所以x=pbh,y=qh就是一个解 5.分别解同余方程:(1)258x≡131(mod348).(2)56x=88(mod96) 解由书中解同余方程的四个步骤求解。 (1)求(a,m)=(258,348)=6 6不能整除131,所以此同余方程无解。 (2)求(a,m)=(56,96)=8,由于8能整除88,所以此同余方程有解。 a1=56/8=7,b:=88/8=11,m=96/8=12. 用辗转相除法求p,q满足pa+qm=1,得p=-5 所以方程的解为x≡pb(modm)≡-5×11(mod12)≡5(mod12)。 或x=5+12k(k为任意整数) 6.解同余方程组 x≡3(mod5) x≡7(mod9) 解按解同余方程组的三个步骤:
1 1 3 4 得 [10，15，18，24]=5×2×3×3×4=360。 所以需要 360k(k>0) 人。 4. 方程 ax+by=c 在整数范围内有解的充分必要条件是 (a,b)|c 。 证 必要性：由于 (a,b)|a, (a,b)|b，所以 (a,b)|ax+by=c 。 充分性：设 d=(a,b), 于是存在整数 p, q 使 pa+qb=d 。 又由 d|c ，可设 c=dh 。因而有 aph+bqh=dh=c 。 所以 x=ph , y=qh 就是一个解。 5. 分别解同余方程：（1）258x≡131(mod348). (2) 56x=88(mod96). 解 由书中解同余方程的四个步骤求解。 （1）求 (a,m)=(258,348)=6, 6 不能整除 131，所以此同余方程无解。 （2）求 (a,m)=(56,96)=8，由于 8 能整除 88，所以此同余方程有解。 a1=56/8=7, b1=88/8=11, m1=96/8=12. 用辗转相除法求 p,q 满足 p a1+q m1=1，得 p=-5。 所以方程的解为 x≡pb1 (mod m1) ≡-5×11(mod12) ≡5(mod12)。 或 x=5+12k(k 为任意整数)。 6. 解同余方程组： x≡3(mod5) x≡7(mod9) 解 按解同余方程组的三个步骤：
首先,计算M=5×9=45,M1=9,M=5 其次,解两个一次同余式,由于这两个同余式有其特殊性:右端都是1,且 (a,m)=1。因而 有时可用观察法得到pa+qm=1,从而得到p。 1)9x≡1(mod5) 观察得到-9+2×5=1,p=-1. 所以此一次同余式的一个特解为c=-1≡4(mod5) 2)5x≡1(mod9) 观察得到2×5-9=1,p=2. 所以此一次同余式的一个特解为c=2(mod9) 最后,将得到的一次同余式的一个特解代入公式,得到同余方程组的解: x=bclM+b2cMl=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。 7.5行多1,6行多5,7行多4,11行多10,求兵数 解设兵数为x,则x满足以下同余方程组: x=l(mod) x=5(mod) x=4 (mod7) x=10(mod1) 按解同余方程组的步骤,计算如下: M=5×6×7×11=2310,M=462,M=385,M=330,M=210. 分别解以下一次同余式 462x=1(mod5),得c=3. 385x=1(mod6),得c2=1
首先，计算 M=5×9=45, M1=9, M2=5. 其次，解两个一次同余式，由于这两个同余式有其特殊性：右端都是 1，且 (a,m)=1。因而 有时可用观察法得到 pa+qm=1,从而得到 p。 1) 9x≡1(mod5), 观察得到 -9+2×5=1, p=-1. 所以此一次同余式的一个特解为 c=-1≡4(mod5). 2)5x≡1(mod9), 观察得到 2×5-9=1, p=2. 所以此一次同余式的一个特解为 c=2(mod9). 最后，将得到的一次同余式的一个特解代入公式，得到同余方程组的解： x=b1c1M1+b2c2M2=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。 7. 5 行多 1，6 行多 5，7 行多 4，11 行多 10，求兵数。 解 设兵数为 x，则 x 满足以下同余方程组： x=1(mod5) x=5(mod6) x=4(mod7) x=10(mod11) 按解同余方程组的步骤，计算如下： M=5×6×7×11=2310, M1=462, M2=385, M3=330, M4=210. 分别解以下一次同余式： 462x=1(mod5), 得 c1=3. 385x=1(mod6), 得 c2=1