1举例:半群有单位元而子半群无单位元或有不同的单位元 例可从矩阵半群中找 不难验证它是半群单位元为 H 不难验证它也是半群而单位元为 N 不难验证它也是半群但无单位元 2.H是G的有限子集,证明H是子群的充分必要条件是对任意a,b∈H有ab∈H。 证必要性:显然。 充分性:由于封闭性成立,H是半群。又因群G中消去律成立,故H中消去律也 成立。由2.1节定理5,知H是群。 3.找出Z和Z12中全部子群。 解Z中全部子群:H={mkk∈Z},m=0,1,2, Z2中全部子群:N={0},N={0,2,.,10},N2={0,3,6,9},N2={0,4,8}, N={(0,6},N=Z12。 4.设G是群,证明对任意a,b有o(ab)=o(ba)。 证设o(ab)=n,则(ab)"=e,a(ba)"b=e,即(ba)"=ab', 故得(ba)"=e,所以o(ba)ln,即o(ba)|o(ab) 类似可证o(ab)|o(ba) 综上,o(ab)=o(ba) 5.设G是群,|G|=2n,则G中有2阶元 证利用任何元素a与它的逆元的关系 对任何非单位元a有:a=a-的充分必要条件是o(a)=2。因而对于阶数大于2的 元素总是成对出现的,即阶数大于2的元素的个数是偶数,所以,除单位元之外 至少有1个2阶元
2. H 是 G 的有限子集，证明 H 是子群的充分必要条件是对任意 a,b∈H 有 ab∈H。 证 必要性：显然。 充分性：由于封闭性成立，H 是半群。又因群 G 中消去律成立，故 H 中消去律也 成立。由 2.1 节定理 5，知 H 是群。 3. 找出 Z 和 Z12中全部子群。 解 Z 中全部子群：Hm={mk|k∈Z}, m=0,1,2,......。 Z12中全部子群：N0={0}，N1={0，2，...，10}，N2={0，3，6，9}，N3={0，4，8}， N4={0，6}，N5= Z12 。 4. 设 G 是群，证明对任意 a,b 有 o(ab)=o(ba)。 证 设 o(ab)=n，则 (ab) n =e，a(ba)n-1 b=e，即 (ba)n-1 =a -1 b -1， 故得 (ba)n =e，所以 o(ba)|n，即 o(ba)|o(ab)。 类似可证 o(ab)|o(ba)。 综上，o(ab)=o(ba)。 5. 设 G 是群，|G|=2n，则 G 中有 2 阶元。 证 利用任何元素 a 与它的逆元的关系。 对任何非单位元 a 有：a=a -1的充分必要条件是 o(a)=2。因而对于阶数大于 2 的 元素总是成对出现的，即阶数大于 2 的元素的个数是偶数，所以，除单位元之外 至少有 1 个 2 阶元
6.设G是群,若任意a,b有(ab)2=a3b2,则G是Abel群。 证利用群内元素的运算关系 把(ab)2=a2b2写成abab=abb,由消去律得 ba=ab 所以G是Abel群。 7.设G是非Abel群,证明存在非单位元a,b,a≠b使ab=ba 证利用元素和它的逆可交换,或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆(幂) 不等。 由于G是非Abel群,必有阶数大于2的元素a,因而a≠a,取b=a,则ab=ba。 (也可用幂来做。) 8.o(a)纽n,m∈Z,则o(a")=n/(m,n)。 证要证两个整数相等,通常用互相整除的方法 设o(a")=k,(m,n)=d, a m=rd, n=sd, n/(m, n)=s 下证k与s互相可整除 所以k|s。 另一方面 (a")=a"=e,所以nmk,得slrk,由于(r,s)=1故s|k 综上,k=s。证毕。 9.设A=(a1)3x3∈S03,A=o(n,0),则 (1)n可由A-I中两线性无关的行向量作叉积得到 (2)0满足2cos0+1=trA
6. 设 G 是群，若任意 a,b 有 (ab)2 =a 2 b 2，则 G 是 Abel 群。 证 利用群内元素的运算关系。 把 (ab)2 =a 2 b 2 写成 abab=aabb，由消去律得 ba=ab。 所以 G 是 Abel 群。 7. 设 G 是非 Abel 群，证明存在非单位元 a,b，a≠b 使 ab=ba。 证 利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂） 不等。 由于 G 是非 Abel 群，必有阶数大于 2 的元素 a，因而 a≠a -1，取 b= a-1，则 ab=ba。 （也可用幂来做。） 8. o(a)=n，m∈Z + ，则 o(am )=n/(m,n) 。 证 要证两个整数相等，通常用互相整除的方法。 设 o(am )=k ， (m,n)=d ， 令 m=rd ， n=sd ， n/(m,n)=s ， 下证 k 与 s 互相可整除： (am ) s =a ms =a nr =e ，所以 k|s 。 另一方面， (am ) k =a mk =e ，所以 n|mk ，得 s|rk ，由于 (r,s)=1 故 s|k 。 综上，k=s 。证毕。 9. 设 A=(aij)3×3∈SO3，A=σ(η,θ)，则 （1）η可由 A-I 中两线性无关的行向量作叉积得到。 （2）θ满足 2cosθ+1=trA
证首先要复习一下SO3的意义。可从两个角度来看它的意义:从线性变 换的角度,SO3是三维线性空间中全体旋转变换所构成的群;从矩阵角 度来看,S03是全体行列式为1的三阶正交矩阵所构成的群。因而SO3 中任何一个元素既可用矩阵A来表示,也可用旋转变换σ(η,0)来表 示。本题就是要讨论它们之间的关系。 给定一个A,如何来确定它所对应的旋转变换σ(η,θ)的旋转轴η和旋 转角θ呢?旋转轴η就是三维空间中的一个向量,旋转角θ就是按右手 法则转过的角度。设A≠I,则向量n(不计正负方向和大小)和0由A 唯一确定。确定的方法如下:向量η的特点是在A的作用下不变,故满 足An=n,即 (A-1)n=0(*) 由于A的行列式为1的正交矩阵,1必是A的一个特征值(为什么?), 所以方程(*)必有非0解,旋转轴η就是1所对应的特征向量。下证秩 (A-1)=3:首先,秩(A-)<3,如果秩(A-I)=1,则λ=1的几何重度为 2,因而λ=1的代数重度大于或等于2,令 AI-A|=(-1)2(A-A3), 由|A|=1得λ3=1,由A的正交性,得A=I,矛盾。故秩(A-1)=2。由方 程(*)可见,n与A-I的行向量正交,而A-I中恰有两个线性无关的行 向量,所以用这两个线性无关的行向量作叉积就得到n
证 首先要复习一下 SO3的意义。可从两个角度来看它的意义：从线性变 换的角度，SO3是三维线性空间中全体旋转变换所构成的群；从矩阵角 度来看，SO3是全体行列式为 1 的三阶正交矩阵所构成的群。因而 SO3 中任何一个元素既可用矩阵 A 来表示，也可用旋转变换σ(η,θ)来表 示。本题就是要讨论它们之间的关系。 给定一个 A，如何来确定它所对应的旋转变换σ(η,θ)的旋转轴η和旋 转角θ呢？旋转轴η就是三维空间中的一个向量，旋转角θ就是按右手 法则转过的角度。设 A≠I，则向量η（不计正负方向和大小）和θ由 A 唯一确定。确定的方法如下：向量η的特点是在 A 的作用下不变，故满 足 Aη=η ，即 (A-I)η=0 (*) 由于 A 的行列式为 1 的正交矩阵，1 必是 A 的一个特征值（为什么？）， 所以方程(*)必有非 0 解，旋转轴η就是 1 所对应的特征向量。下证秩 (A-I)=3：首先， 秩(A-I)<3，如果 秩(A-I)=1，则λ=1 的几何重度为 2，因而λ=1 的代数重度大于或等于 2，令 |λI-A|=(λ-1)2 ( λ-λ3), 由|A|=1 得λ3=1，由 A 的正交性，得 A=I，矛盾。故秩(A-I)=2。由方 程(*)可见，η与 A-I 的行向量正交，而 A-I 中恰有两个线性无关的行 向量，所以用这两个线性无关的行向量作叉积就得到η
(2)设n为旋转轴,将η扩大为一组标准正交基:ε1=n/n|,ε2, es。则旋转变换σ(n,0)在此组基下的矩阵为 B=0 0 sin 6 COS o 由于A与B相似,它们有相同的迹,所以trA=1+2cos。 习题23 )=n, 证明G≌D2(n22) 证首先我们要掌握生成群的意义:生成群是由生成元们和它们的逆所作成的一切可能的的积 所构成的集合 对于我们要研宄的G来说,它的元素可以简化由于由a,b两个元素生成G的任意一个元素是有 限个a与b和它们的逆的乘积利用规则ba=b-a,可把着个乘积中的a的幂统统移到前面于是变成 a的幂b和a的幂的乘积,再利用a与b阶可把G表为以下形式 G=b)=01….-1j=0 并且有-2x 再复习一下二面体群的几何定义况2节例) 为了找到D2与的关系我们把D也表为生成群的形式由于=,履=听=A而故得 D,-{4-01,…,n=10=0 现在可以来证明它们同构了 作映射f:ab→A呢(G→D), 可证是双射略),且保持运算(略) 所以G≌D 2.求D的所有最小生成元集 解最小生成元集指元素个数最少。首先易见Dn的最小生成元集所含元素个数必 为2。因而有以下两种情形
（2）设η为旋转轴，将η扩大为一组标准正交基：ε1=η/|η|，ε2 ， ε3。则旋转变换σ(η,θ)在此组基下的矩阵为 ， 由于 A 与 B 相似，它们有相同的迹，所以 trA=1+2cosθ。 习题 2.3 2. 求 Dn的所有最小生成元集。 解 最小生成元集指元素个数最少。首先易见 Dn的最小生成元集所含元素个数必 为 2。因而有以下两种情形：
(1)Dn=<p,π。我们来看对k与m有什么条件? 由于p1∈D,必有q使(pk)"=p1,即p=p1<=>kq=1(modn)<=>(k,n)=1 所以这类最小生成元集为 D=<p,π。,(k,n)=1,m=0,1,,n-1。 (2)D=<,π。。我们来看对k与m有什么条件? 方法类似。 由于p∈D2,必有p,q使(πk)°(n)=p1,但因o()=2,故有 丌k丌n=p1<=>k-m=1(modn)<=>(k-m,n)=1。(其中用到运算规律πkπ。=p 所以这类最小生成元集为 D=<π,π》>,(k-m,n)=1,k,m∈[0,n-1]。 3.证明K≌(Z12,�)。 证首先应搞清K和Z12的意义,并写出它们的元素。 K={e,a,b,c},Z12'={1,5,7,ll}。 作映射f:e→1,a→5,b→7,c→11 可以一一验证(略)满足 f(xy)=f(x)f( 所以K≌(Z12,�)。 4.(Q,×)和(Q,+)是否同构? 答否!(如果把Q换成R不难证明它们是同构的。) 证明如下 反证法:假设有同构f:(Q,+)→(Q,×) 设f(a)=2,则 f(a)=f(a/2+a/2)=f(a/2)f(a/2)=2
（1）Dn =<ρk,πm>。我们来看对 k 与 m 有什么条件？ 由于ρ1∈Dn ，必有 q 使(ρk ) q =ρ1 ，即ρkq =ρ1 <=> kq=1(mod n) <=> (k, n)=1。 所以这类最小生成元集为 Dn =<ρk,πm>，(k, n)=1，m=0,1,...,n-1 。 （2）Dn =<πk,πm>。我们来看对 k 与 m 有什么条件？ 方法类似。 由于ρ1∈Dn ，必有 p，q 使(πk ) p (πm ) q =ρ1 ，但因 o(πi)=2，故有 πkπm =ρ1 <=> k-m=1(mod n) <=> (k-m, n)=1。(其中用到运算规律πkπm =ρ k-m)。 所以这类最小生成元集为 Dn =<πk,πm>，(k-m, n)=1，k, m∈[0,n-1] 。 3. 证明 K4≌(Z12 * , �)。 证 首先应搞清 K4和 Z12 *的意义，并写出它们的元素。 K4={e, a, b, c}，Z12 * ={1,5,7,11}。 作映射 f:e→1, a→5, b→7, c→11 . 可以一一验证（略）满足 f(xy)=f(x)f(y). 所以 K4≌(Z12 * , �)。 4. (Q+ , ×)和(Q, +)是否同构？ 答 否！（如果把 Q 换成 R 不难证明它们是同构的。） 证明如下： 反证法：假设有同构 f: (Q, +)→(Q+ , ×). 设 f(a)=2，则 f(a)=f(a/2+a/2)=f(a/2)f(a/2)=2