放由数学妇法有知，对所有的正整数，有下式成立。包()-6创子-厂 图跳在x+上有收间-p品r度s→n0 因而{9(x)}在无≤x≤x,+h上一致收敛于w(x),根据极限的唯一性即得，p(x)=w(x) 命题5成立，所以唯一性得到证明。 有了这个定理，我门减可以时方程(6.)定性分折其解销存在任，例如，里卡蒂方程：交=+少户虽 不能用初等积分法求解，但根据该定理可以知道，它在(x,y)平面上经过每一点，有且只有一个解。 注：1、存在唯一性定理中数h的几何意义，令正数M为/(x,y)川在R上的一个上界，则徽分方程(3.) 在R内各点P的切线斜率界于-M和M之间，由此可以看出，若y=p(x)是初值问题 密心)P)=%的-个解，圆此，为了保证其帮在矩形R内，段们只膏布下面的限制 M-sh,亦即k-动华名，所以要令h=mm口分则在区同x-sh上的聚分自线 y=(x)就停留在R内。事实上，它停留在R内的两个角形区域之中， 2、由于利普希茨条件难于检验，常用f(x,y)在R上有对y有连续的偏微商来代。这就是柯西给出的 存在唯一性定理的条件。 事实上，如果在R上以存在且连续，则斗在R上有界，设在R上以SL,由微分中值定理 ()-fk=马+80- 以-≤Ly-0<0<1,反之，结论不一定正确。 例如，f(x,y)=川对y满足李氏条件，但当y=0时，它对y没有徽商。 3、若方程为线性方程安=P()y+Q(),当P().Q()在区间a,]上为连续函数时，定理1中条 件自然成立，而且任一初值(x,%),x∈[a,)]所确定的解在整个区间[α，]上都有定义。（自己证明） (2)现考虑一阶隐方程F(x,y,y)=0(3.5) 根据隐函数存在定理，若在（化，0，）的某一领域内，F连续且F(x,)=0, 第6页共21页
第 6 页 共 21 页 故由数学归纳法得知，对所有的正整数 n ，有下式成立。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 ! n n ML x x x x n + − − + 因此，在 0 0 x x x h + 上有 ( ) ( ) ( ) 1 1 ! n n ML x x h n + − + 成立，当 n → 时， ( ) 1 0 1 ! n ML n h n + → + 因而 n ( x) 在 0 0 x x x h + 上一致收敛于 ( x) ，根据极限的唯一性即得， ( x x ) = ( ) 命题 5 成立，所以唯一性得到证明。 有了这个定理，我们就可以对方程 (3.1) 定性分析其解的存在性，例如，里卡蒂方程： dy 2 2 x y dx = + 虽 不能用初等积分法求解，但根据该定理可以知道，它在 ( x y, ) 平面上经过每一点，有且只有一个解。 注：1、存在唯一性定理中数 h 的几何意义，令正数 M 为 f x y ( , ) 在 R 上的一个上界，则微分方程 (3.1) 在 R 内各点 P 的切线斜率界于 −M 和 M 之间，由此可以看出，若 y x = ( ) 是初值问题 ( , ) ( 0 0 ) dy f x y x y dx = = 的一个解，因此，为了保证其解在矩形 R 内，我们只需作下面的限制： M x x h − 0 ，亦即 0 b x x M − ，所以要令 min , b h a M = ，则在区间 0 x x h − 上的积分曲线 y x = ( ) 就停留在 R 内。事实上，它停留在 R 内的两个角形区域之中。 2、由于利普希茨条件难于检验，常用 f x y ( , ) 在 R 上有对 y 有连续的偏微商来代替。这就是柯西给出的 存在唯一性定理的条件。 事实上，如果在 R 上 f y 存在且连续，则 f y 在 R 上有界。设在 R 上 f L y ，由微分中值定理 ( ) ( ) ( 2 1 2 ( )) 1 2 1 2 1 2 , , , 0 1 f x y y y f x y f x y y y L y y y + − − = − − ，反之，结论不一定正确。 例如， f x y y ( , ) = 对 y 满足李氏条件，但当 y = 0 时，它对 y 没有微商。 3、若方程为线性方程 ( ) ( ) dy P x y Q x dx = + ，当 P x Q x ( ), ( ) 在区间 , 上为连续函数时，定理 1 中条 件自然成立，而且任一初值 ( x y x 0 0 0 , , , ) 所确定的解在整个区间 , 上都有定义。（自己证明） （2）现考虑一阶隐方程 F x y y ( , , 0 3.5 ) = ( ) 根 据 隐 函 数 存 在 定 理 ， 若 在 ( x y y 000 , , ) 的 某 一 领 域 内 ， F 连续且 F x y y ( 000 , , 0 ) =
Fxo⅓ ≠0，则方程F(x,y,y)=0则可以唯一的确定一个二元函数y=f(x,y),并且， 列收划装装天=水小哥-答/停业s有，数 理1，方程(3.5)的满足初始条件的解存在唯一，得到如下定理： 定理2如果在点(x,%）的某一邻域中， ①F(x,yy)对所有变元(x,y,y)连续，且存在连续偏导数， @F66)=0,国% ≠0， ay' 则方程F(x,y,y)=0存在唯一解，y=y(x)x-x≤h(h为足够小的正数) 满足初始条件y(x)=y(:)= 注：这里所讲的解的存在唯一是指过(，为)且以%为已知方向的积分曲线有且只有一条。 例1讨论e'sinx能香称为y-f(x)y=0在区间[-a,a中的解，其中a>0f(x)在(-o,+o)内连续。 分析：将原方程变形为血=f)本一ny=∫fx收+c一州=Cea恤，寻找)，使得 y=esinx,事实上，可以验证这样的f(x)就根本不存在。 我们可以利用唯一性定理证明它不是方程y=∫(x)y的解。易知y=0是方程的平凡解， y=f(x)y 考虑初值问题： ,由解的存在唯一性定理，存在唯一的解y=y(x),x∈[-h,],h>0 y(0)=0 若y=e'sinx是方程的解，且y(O)=e°sin0=0,则与唯一性矛盾，所以y=e'sinx不是其解。 例2.讨论方程少-y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过0.0)的一切解。 2 其中α>0时，解的存在唯一性定理条件成立。 第7页共21页
第 7 页 共 21 页 ( 000 , , ) 0 F x y y y ，则方程 F x y y ( , , 0 ) = 则可以唯一的确定一个二元函数 y f x y = ( , ) ，并且， f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 的某一领域内连续，且 y f x y 0 0 0 = ( , ) ， f F F y y y = − 显然是有界的。所以根据定 理 1，方程 (3.5) 的满足初始条件的解存在唯一，得到如下定理： 定理 2 如果在点 ( x y y 000 , , ) 的某一邻域中， ① F x y y ( , , ) 对所有变元 ( x y y , , ) 连续，且存在连续偏导数， ② F x y y ( 000 , , 0 ) = ，③ ( 000 , , ) 0 F x y y y ， 则方程 F x y y ( , , 0 ) = 存在唯一解， ( ) 0 y y x x x h = − （ h 为足够小的正数） 满足初始条件 y x y y x y ( 0 0 0 0 ) ( ) = = 注：这里所讲的解的存在唯一是指过 ( x y 0 0 , ) 且以 0 y 为已知方向的积分曲线有且只有一条。 例 1 讨论 sin x e x 能否称为 y f x y − = ( ) 0 在区间 −a a, 中的解，其中 a 0 f x( ) 在 (− + , ) 内连续。 分 析 ：将 原方 程变 形为 ( ) ( ) ( ) ln dy f x dx f x dx y f x dx c y Ce y = = + = ，寻找 f x( ) ，使得 sin x y e x = ，事实上，可以验证这样的 f x( ) 就根本不存在。 我们可以利用唯一性定理证明它不是方程 y f x y = ( ) 的解。易知 y = 0 是方程的平凡解， 考虑初值问题： ( ) (0 0 ) y f x y y = = ，由解的存在唯一性定理，存在唯一的解 y y x x h h h = − ( ), , , 0 若 sin x y e x = 是方程的解，且 ( ) 0 y e 0 sin0 0 = = ，则与唯一性矛盾，所以 sin x y e x = 不是其解。 例 2．讨论方程 1 3 3 2 dy y dx = 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过 (0,0) 的一切解。 解：已知 ( ) 1 3 3 , 2 f x y y = 在整个 ( x y, ) 平面内连续，但 2 3 1 2 f y y − = 在 y 0 的平面上连续，所以当 y 其中 0 时，解的存在唯一性定理条件成立