波动方程 uuu -a u=0,0<x<L 定解问题 0.L 0 1=0=(x),l 1|r=0=v(x 未知函数分离l(x,)=X(x)() 泛定方程分离 T/(a2T)=X"/X=- 边界条件分离X(0)=X(L)=0 X=Sin(wx), w=kT/L, k=1, 2, .,n=w 本征运动 TK=A cos(wg at)+ Bk sin(wat) 半通解 ∑1T4()x4(x) 初始条件要求(x)=∑4X(x)y(x)=∑anBX(x)
波动方程 n 定解问题 | ( ), | ( ) | 0 , | 0 0 , 0 0 0 0 2 u x u x u u u a u x L t t t x x L tt xx cos( ) sin( ) sin( ), / , 1,2, , 2 T A w at B w at X wx w k L k w k k k k k u(x,t) X (x)T(t) X (0) X (L) 0 T"/(a T) X"/ X 2 (x) A X (x), (x) aw B X (x) k k k k k 1 ( ) ( ) k k k u T t X x l 初始条件要求 l 未知函数分离 l 泛定方程分离 l 边界条件分离 l 本征运动 l 半通解
典型问题的求解 ln-a2ux=0.,0<x<丌 例题3 0.ul=0 u-o=o, u,lt-o=sinx(A+Bcosx) u(x, t)=X(xT( 分离变量 T"+ao-T=0, X"+2X=0 X(0)=X()=0 分别求解 Xk=sin(k), Tk=Ak cos(kat)+B sin(kat), kEN 。合成半通解=∑4cm)+Bsn(k)s ∑ Ak sin kx 代入初始条件 sin x(A+ Bcosx)=>kaBk sin kx Asinx+, Bsin 2x=aB, sin x+ 2aB, sin 2x+3aB3 sin 3x+ B=A,B2=4B,、Bk>2=0,4k=0
典型问题的求解 n 例题3 | 0, | sin ( cos ) | 0, | 0 0, 0 0 0 0 2 u u x A B x u u u a u x t t t x x tt xx Xk sin(kx),Tk Ak cos(kat) Bk sin(kat), k N (0) ( ) 0 " 0 " 0, ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 X X X X T a T u x t X x T t , , 0, 0 sin sin 2 sin 2 sin 2 3 sin 3 sin ( cos ) sin 0 sin 4 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1 a a k k k k B A B B B A A x B x aB x aB x aB x x A B x kaB kx A kx 1 [ cos( ) sin( )]sin k k k u A kat B kat kx l 代入初始条件 l 分离变量 l 分别求解 l 合成半通解
思考题 思考题1:如何求解下面的波动问题 0.0<x<L u x|x=0 0 =0=(x),ltlr=0=(x) 思考题2:如何求解下面的热传导问题 l1-a2ux=0,0<x<L x=0=0, 0 l=0=(x)
思考题 n 思考题1：如何求解下面的波动问题 | ( ) | 0, | 0 0, 0 0 0 2 u x u u u a u x L t x x x L t xx n 思考题2：如何求解下面的热传导问题 | ( ), | ( ) | 0 , | 0 0 , 0 0 0 0 2 u x u x u u u a u x L t t t x x x x L tt xx
稳定场问题 ■拉普拉斯方程 ■矩形区域问题 简单情况 般情况 圆形区域问题 典型问题分析 例题
稳定场问题 n 拉普拉斯方程 n 矩形区域问题 • 简单情况 • 一般情况 n 圆形区域问题 • 典型问题分析 • 例题