《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分

三,二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当k为常数时, Ikf(x, y)do=kIf(x,do 性质2 ∫ If(x,y)±g(x,y)d =f(x,y)do±lg(x,y)do

性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) .   = D D kf x y d k f x y d 性质２   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) .   =  D D f x y d g x y d （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质

性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) JJS(x, y)do=f(x, y)do+lf(x, y)do 生质4若G为D的面积σ=1.do=ld 性质5若在D上f(x,y)≤g(x,y)2 则有』(x,)ds!gax,y)do 特殊地J(xsjr(x)o

性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2    = + D D D f x y d f x y d f x y d 性质４ 若  为D的面积， 1 .   =  = D D  d d 性质５ 若在D上 f (x, y)  g(x, y), ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d ( ) D = D1 + D2 则有

性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的 最大值和最小值,σ为D的面积,则 mosl f(x,y)do s Mo (二重积分估值不等式) 性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续,O为D 的面积,则在D上至少存在一点(5,)使得 f(x, y)do=f(5,n) (二重积分中值定理)

设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则 性质６ 设函数 f (x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 性质７ （二重积分中值定理）       D m f (x, y)d M  f (x, y)d = f (,) D （二重积分估值不等式）

例1不作计算,估计I=ex+o的值, 其中D是椭圆闭区域:2+1=1(0<b<a). b 解区域D的面积σ=ab兀, 在D上∵0≤x+J2≤∥ < x < 由性质6知os「e(x+)d≤o:e", abTt e(xty'dos abrea

例 1 不作计算，估计 I e d D x y  + = ( ) 2 2 的值， 其 中D是椭圆闭区域： 1 2 2 2 2 + = b y a x (0  b  a). 在D上 2 2 2 0  x + y  a , 1 , 2 2 2 0 x y a  = e  e  e + 由性质 6 知 , 2 2 2 ( ) a D x y  e d   e  +    解    + e d D ( x y ) 2 2 ab . 2 a abe 区域 D 的面积 = , ab

de 例2估计I= 的值, x2+y2+2xy+16 其中D:0≤x≤1,0≤y≤2. 解∵∫(x,y)= (x+y)2+16’区域面积σ=2, f(x,y)的最小值m=4(=y=0) 在D上∫(x,y)的最大值M √32+425 J 2 2 故≤I≤→0.4≤I≤0.5 5

例 2 估计  + + + = D x y xy d I 2 16 2 2  的值， 其中 D： 0  x  1, 0  y  2. 区域面积 = 2, , ( ) 16 1 ( , ) 2 + + = x y  f x y 在D上 f ( x, y)的最大值 ( 0) 4 1 M = x = y = f (x, y)的最小值 5 1 3 4 1 2 2 = + m = (x = 1, y = 2) 故 4 2 5 2  I   0.4  I  0.5. 解