2-1-4线性定常微分方程的建立 拉氏变换法 例4(p25例2-6),方程为: Lcao(t ro d0(t) o+uo 已知L=1H,C=1F,R=19,a()=0=0.v (0)=0.1A,u4(1)=lv(当t≥0),l41=0(t<0) 解:由拉氏变换的微分定理: 若Lf()=F(s)则有 LIf(D=SF(s)-f(o) L[f"(m)=s2F(s)-9(0)-f(0)
2-1-4.线性定常微分方程的建立 拉氏变换法 例4 ( p25 例2-6)，方程为： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC + + = i 已知 (0) 0.1 ( ) 1v ( 0) 0 ( 0) 1 1 1 ( ) 0.1 0 0 = = = = = = = = i A u t t u t L H C F R u t v i i t ， 当 ， ， ， ， L[ f (t)] = F(s) 解：由拉氏变换的微分定理： 若 则有： [ ( )] ( ) (0) '(0) [ '( )] ( ) (0) 2 L f t s F s sf f L f t sF s f = − − = −
又有: 即:do0(t)_1 t dt 对方程两边取拉氏变换,将参数代入,可得: S2()-s×0.1+×0.1+so(s)-0.1+()=l1(s) 0.ls+0.2 L,(S)+ l4(s)=-,故有 s2+s+1 s2+s+1 4(s)=L[4()=L[ 0.1s+0.2 S(S+S+ 1) s2+S+1 1+1.15e03sin(0:8661-120°) +02e0sin(0:8661+30
,故有： 1 ( ) 1 0.1 0.2 ( ) 1 1 ( ) 0 2 2 s u s s s s u s s s u s i i = + + + + + + = 又有： = i t dt C u t ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 i t dt C du t 即： = 0.1 ( ) 0.1 ( ) ( ) 1 1 0 ( ) 0.1 0 0 2 s u s s su s u s u s − + + − + = i 对方程两边取拉氏变换，将参数代入，可得： 0.2 sin( 0.866 30 ) 1 1.15 sin( 0.866 120 ) ] 1 0.1 0.2 ( 1) 1 ( ) [ ( )] [ 0.5 0 0.5 0 2 2 1 0 1 0 + + = + − + + + + + + = = − − − − e t e t s s s s s s u s L u s L t t
若输入u1(t)=δ(t), 0.ls+0.2 Z0(t)=[ s(s2++1)s2+s+1 1.15e0sin0.866t+0.2e05si(0.866t+30°) 零状态响应—取决于输入 零输入响应—取决于初始条件 再由拉氏变换的初值定理:limf(t)= lim sp(s) t->0 t→ 和拉氏变换的终值定理:limf(t)= lim sF(s s→>0 可得:6(0)=lim(0)= lim su(s)=0.1v t->0 S→)0 u(oo)=lim uo(t)=lim suo (s)=lv s→>0
若输入 ui (t) = (t) ，则 1.15 sin 0.866 0.2 sin( 0.866 30 ) ] 1 0.1 0.2 ( 1) 1 ( ) [ 0.5 0.5 0 2 2 1 0 = + + + + + + + + = − − − e t e t s s s s s s u t L t t 零状态响应——取决于输入； 零输入响应——取决于初始条件； 再由拉氏变换的初值定理： ( ) ( ) lim 0 f t limsF s t→ t→ = 和拉氏变换的终值定理： ( ) ( ) lim lim 0 f t sF s t→ s→ = 可得： u u su s v t s (0) 0 (0) 0 ( ) 0.1 0 0 = lim = lim = → → u u t su s v t s ( ) ( ) 0 ( ) 1 0 = lim 0 = lim = → →
由此拉氏变换解微分方程的步骤 (1)对微分方程取拉氏变换; (2)解以S为变量的代数方程, 求输出量的拉氏变换; 3)求输出量的拉氏变换表达式 反变换
由此拉氏变换解微分方程的步骤： • （1） 对微分方程取拉氏变换； • （2） 解以S为变量的代数方程， 求输出量的拉氏变换； • （3） 求输出量的拉氏变换表达式 反变换
2-1-5非线性微分方程的线性化 实际的元件严格上均为非线性的,但是, 在工作点附近,小范围内大都可以近似的 用线性关系来表示—线性化。 如图: y=f(x) A
2-1-5.非线性微分方程的线性化 • 实际的元件严格上均为非线性的，但是， 在工作点附近，小范围内大都可以近似的 用线性关系来表示——线性化。 • 如图： 0 x 0 ( )x dx df 0 0 y y = f (x) A