第四章线性系统的根轨迹法 ·4-1.根轨迹概念 ·4-2绘制根轨迹的基本方法 ·4-3,广义根轨迹
第四章 线性系统的根轨迹法 • 4-1.根轨迹概念 • 4-2.绘制根轨迹的基本方法 • 4- 3.广义根轨迹
4-1根轨迹的概念 4-1-1根轨迹法 4-1-2根轨迹与系统性能 ·4-1-3闭环零极点与开环零极点间的关系 ·4-1-4根轨迹方程 1948年 WR.EVANS提出了一种确定闭环 系统特征根的图解法 根轨迹法
4-1.根轨迹的概念 • 4- 1-1 根轨迹法 • 4-1-2 根轨迹与系统性能 • 4-1-3 闭环零极点与开环零极点间的关系 • 4-1-4 根轨迹方程 1948 年 W.R.EVANS 提出了一种确定闭环 系统特征根的图解法———根轨迹法
如图:R(s) k ClS S(0.5s+1) 特征方程为:s2+2s+2k=0 其根为:=-1+√1-2k,2=1-√1-2k 可以用k为参变量,在s平面作其根轨迹: k增大 0.5 k=05 -0.5 15 k增大 3-25
如图： s(0 .5 s 1) R(s) k c(s) 特征方程为： 2 2 0 2 s s k s 1 1 2k s 1 1 2k 其根为： 1 ，2 可以用 k 为参变量，在 s 平面作其根轨迹：
4-1-2.根轨迹与系统性能 通过根轨迹图,可以对系统如下性能做研究: (1)稳定性 若系统轨迹进入s右半面,则系统不稳定,根 轨迹与虚轴交点处为临界稳定 (2)稳态性能 可以判断系统型次,并推算出开环增益 (3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型
4-1-2.根轨迹与系统性能 • 通过根轨迹图，可以对系统如下性能做研究： • (1)稳定性 若系统轨迹进入s右半面，则系统不稳定，根 轨迹与虚轴交点处为临界稳定。 • (2)稳态性能 可以判断系统型次，并推算出开环增益。 • (3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型
4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系 如图: R(S) C(s) G(sS) H(S) a(S) G(S) 1+G(s)H(s) 设:G(s)=Ka(+1X2s2+2512s+1)=Ki(s=) ∏ (T1S+1)(72s2+25272S+1) ∏(s=p) 其中K。为前向通路增益; KG为前向通路根轨迹增益。K=K。2
4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系 如图： G (s) R(s) c(s) H (s) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s 设： q j j f i i G G s p s z K s T s T s T s K s s s G s 1 * 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( 1)( 2 1) ( 1)( 2 1) ( ) 其中K G为前向通路增益； * K G为前向通路根轨迹增益。 2 1 2 2 * 1 2 T T K G K G