定理：若函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)处可微则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有afafaf_af-cos β +COSYcosα+02ayalax'其中α，β,为l的方向角p证明：日由函数f(x,y,z)在点P可微，得P(x,y,2)afAx+oLAy++f^z+o(p)C△f=axazay当P(x+Ax,y+Ay,=+)在以(x,y,=)为始点的射线/上时，af(ofcos β+ Lcoscos)+o(p)f = p(cosα+oxozoyafafaf△faf故cos β +limCOSYcosaα+一alayazaxP-0P目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , P(x, y,z) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 lim cos cos cos z f y f x f l f + + = 证明: 由函数 f (x, y,z) z o( ) z f y y f x x f f + + + = = f ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 P 故 cos cos cos z f y f x f + + = 当 在以 为始点的射线 上时， P x x y y z z x y z l ( + + + , , , , ) ( )
例1. 求函数 u=x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 1 =(2,-1,3）的方向导数解：向量1的方向余弦为cosβ-COSYcosa=V14/14141au22xyz/14 /(1, 1, 1)alV1414/14目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . = l P u 14 2 2xyz 14 2 3 + x y 解: 向量 l 的方向余弦为
例2. 求函数 z=3x2-y2在点P(2, 3)沿曲线 =x2 -1朝x增大方向的方向导数解：将已知曲线用参数方程表示为Px=xy=x? -12 x/ x=2 =(1, 4)它在点P的切向量为(1,2x)l74cos β= -COSα=V17V1760oz07 p=[6xy.+(3x-2y17(2,3)-/17V17目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解: 将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1 cos = 17 60 = O x y 2 P 1 2 = − = y x x x = (1, 4) 17 4 cos = −1
例3. 设 n 是曲面 2x2 +3y2 +z2 =6 在点 P(1, 1, 1 )处 u= ~6x2 + 8y2求函数在点P处沿指向外侧的法向量Z方向n的方向导数n= (4x,6y,2z)/p =2(2,3, 1)解:3方向余弦为cosαV14 - cos β =,cOsy=V14V14ou6x6而0x| p-=/6x? +8y2| p- /148duOu= -/14同理得V14OyOzPPau11I6×2+8×3-14×1)三7an14P目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 n 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos = 14 1 cos = 而 x P u = n P u 同理得 = 2(2 , 3 ,1) 方向 的方向导数. P (4x , 6y , 2z) 14 6 = 7 11 (6 2 8 3 14 1 ) = 14 1 + − z x y P x 2 2 6 8 6 + = 求函数 在点P 处沿 n = n