M = sup f(x).xe[a,b]要证:M Ef([a,b]),若不然,则对于任意 x [a,blf(x)< M,于是1F(x) =M- f(x)在[a,b]上连续,从而有界,故存在G>0,使1≤G.0<F(x)=M- f(x)这样就有后页返回前页
前页 后页 返回 [ , ] sup ( ). x a b M f x = 要证 若不然 则对于任意 : ([ , ]). , M f a b x a b [ , ], 1 ( ) ( ) F x M f x = − f x M ( ) ，于是 在[a, b] 上连续, 从而有界, 故存在 G > 0, 使 1 0 ( ) . ( ) F x G M f x = − 这样就有
f(x)≤M -G'te[a, b].这与 M 是f(x)在[a,bl上的上确界矛盾同理可证:下确界m= inf f(x)也属于f([a,bl)xela,bl这就证明了上确界M与下确界m都是可取到的这也就是说，M与m是f(x)在[a,bl上的最大最小值后页返回前页
前页 后页 返回 1 f x M x a b ( ) , [ , ]. G − 这与 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上确界矛盾. 这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的, 同理可证:下确界 [ , ] inf ( ) x a b m f x = 也属于 f ([a, b]). 最小值. 这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在[a, b]上的最大