根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？ 设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m,即 10x-4.9x2=0. ① 8思考 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？ 方程①的右边为0，左边可以因式分解，得 x(10-4.9x)=0. 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右 边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么 这两个因式中至少有一个等于0：反之，如果两个 如果ab=0,那 么a=0,或b=0. 因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0 所以 x=0,或10-4.9x=0. ② 所以，方程①的两个根是 100 西=0，x=49≈2.04 这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s 时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面 的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度 是0m. 思考 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因 式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别 等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 第二十一章一元二次方程13
例3解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0: )5-2x-}=x2-2x+是 解：(1)因式分解，得 (x-2)(x+1)=0 于是得 x-2=0,或x+1=0, x1=2,x2=-1. (2)移项、合并同类项，得 4x2-1=0. 因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0. 可以试用多种方 于是得 法解本例中的两个 2x+1=0,或2x-1=0, 方程. 令归纳 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直 接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相 乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所 有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较筒便。总之， 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 1.解下列方程： (1)x2+x=0: (2)x2-2/3x=0: (3)3x2-6x=-3: (4)4x2-121=0: (5)3x(2x+1)=4x+2;(6)(x-4)2=(5-2x) 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大图形场地 场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径 (第2题) 14第二十一章一元二次方程
·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 方程a2+br十：=0a≠0)的求根公式x=-b生-4aC,不仅表示 2a 可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.一 元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ 公思考 从因式分解法可知，方程(x一x1)(x一x2)=0(x1,x2为已知数)的 两根为x1和x2,将方程化为x2十pr十q=0的形式，你能看出x1,x2与 p,q之间的关系吗？ 把方程(x一x1)(x一x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1十x2)x十x1x2=0. 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=一(x1十x2),常数项q=x1x2, 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1十x2=一p，x1x2=q. 8思考 一般的一元二次方程ax2十bx十c=0中，二次项系数a未必是1，它 的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知， 1=b+6-恤，=b-@四 2a 2a 由此可得 x1十x2= -b+-4ac+-b-4a 2a 2a -2b x1x2=-6十V-4a ,-b-√62-4ac 2a 2a *本小节内容为选学内容 第二十一章一元二次方程15
_（-b)2-(62-4ac)_c 4a2 因此，方程的两个根x1,x2和系数a,b,c 有如下关系： 把方程ax2十 bx+c=0(a≠0) 的两边同除以a, 能否得出该结论？ 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的 关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系 数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次 项系数的比 例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2 的和与积： (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2 解：(1)x1十x2=-(-6)=6,x1x2=-15. -55 (3)方程化为4x2-5x+1=0.工1十x2=-4=4,x1x=4 练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1)x2-3x=15: (2)3x2+2=1-4x: (3)5x2-1=4x2+xi (4)2x2-x+2=3x+1. 习题21.2 复习巩固 1.解下列方程： (1)36x2-1=0: (2)4x2=81: (3)(x+5)2=25 (4)x2+2x+1=4 16第二十一章一元二次方程
2.填空 (1)x2+6x+=(x+)2;(2)x2-x+=(x-)2, 8)+r+—=2x+_丹；0-号+ =(x-) 3.用配方法解下列方程： (1)x2+10x+16=0: (②)2-x-=0, (3)3x2+6x-5=0: (4)4x2-x-9=0. 4。利用判别式判断下列方程的根的情况： 02-3-2-0, (2)16x2-24x+9=0: (3)x2-4/2x+9=0: (4)3x2+10=2x2+8x 5.用公式法解下列方程： (1)x2+x-12=0: (3)x2+4x+8=2x+11 (4)x(x-4)=2-8x; (5)x2+2x=0: (6)x2+2/5x+10=0. 6.用因式分解法解下列方程： (1)3x2-12x=-12: (2)4x2-144=0: (3)3x(x-1)=2(x-1): (4)(2x-1)2=(3-x)2 ·7,求下列方程两个根的和与积 (1)x2-3x+2=10: (2)5x2+x-5=0: (3)x2+x=5x+6: (4)7x2-5=x+8. 综合运用 8.一个直角三角形的两条直角边相差5cm,面积是7cm2,求斜边的长 9.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45 份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 10.分别用公式法和因式分解法解方程x2-6x十9=(5-2x)2 11.有-根20m长的绳，怎样用它国成一个面积为24m2的矩形？ 拓广探索 12.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边 形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理. 13.无论p取何值，方程(x一3)（红一2）一p2=0总有两个不等的实数根吗？给出答 案并说明理由. 第二十一章一元二次方程17