配方，得 x2-8x+42=-1+42, (x-4)2=15. 由此可得 x-4=土/15， x1=4+√15，x2=4-√/15 (2)移项，得 2x2-3x=-1. 二次项系数化为1，得 配方，得 2+()=-+( (-= 由此可得 x1=1,4=2 (3)移项，得 3x2-6x=-4. 二次项系数化为1，得 -2红= 配方，得 2-2x+1=-+1 c-1= 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x一1)2都是非负 数，上式都不成立，即原方程无实数根 8第二十一章一元二次方程
般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x十n)2=p ( 的形式，那么就有： (1)当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根 x1=一n一√p,x2=一n十√p (2)当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 无1=x2——71； (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有(x十n)2≥0，所以方程（Ⅱ） 无实数根 练习 1.填空 (1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2; (3)x2+5x+=(x+)2; 02-x+=-只 2.解下列方程： 7 (1)x2+10x+9=0: (2)x-x-4=0: (3)3x2+6x-4=0: (4)4x2-6x-3=0: (5)x2+4x-9=2x-11: (6)x(x+4)=8.x+12. 21.2.2公式法 ①探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 a.x2+bx+c=0(a≠0). (Ⅲ) 能否也用配方法得出（Ⅲ）的解呢？ 我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题， 移项，得 ax2+bx=-c. 二次项系数化为1，得 第二十一章一元二次方程9
配方，得 +2+0)=+(岛月， +2_ 4a2 因为a≠0，所以4a2>0.式子b2一4ac的值有以下三种情况： (1)62-4ac>0 这时>0，由08 2a 方程有两个不等的实数根 -b+√6-4ac x1= =-b-4 (2)b2-4ac=0 这时”。-0，由0可知，方程有两个相等的实数根 ==会 (3)b2-4ac<0 这时”“<0，由①可知(x+名)广<0，而x取任何实数都不能使 (c+会了<0，因此方程无实数根 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程a.x2+bx十c=0根的判别式，通 常用希腊字母“A”表示它，即△=b2一4ac. G归纳 由上可知，当△>0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个不等的实 数根；当△=0时，方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当 △<0时，方程ax2十bz十c=0(a≠0)无实数根， 10第二十一章一元二次方程
当△>≥0时，方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的实数根可写为 x=-b士6-4ac 2a 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx十c=0的求根公式.求根公式表 达了用配方法解一般的一元二次方程a.x2十bx十c=0的结果.解一个具体的 元二次方程时，把各系数直接代人求根公式，可以避免配方过程而直接得出 根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 例2用公式法解下列方程 (1)x2-4x-7=0: (2)2x2-22x+1=0: (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x. 解：(1)a=1,b=-4,c=-7. △=b2-4ac=(-4)2-4×1X(-7)=44>0. 0 方程有两个不等的实数根 确定a,b,c的值 x=-b±v6-4ac 时，要注意它们的符号 2a =-（-4)士44 2×1 =2士√1Π， 即 x1=2+√/1T,x2=2-√/1T (2)a=2,b=-2W2,c=1. △=b2-4ac=(-22)2-4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x=一2a b -22√2 -2×2-2 (3)方程化为5.x2-4x-1=0. a=5,b=-4,c=-1. △=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不等的实数根 x=-b±-4ac=-(-40±v3546 2×5 10 即 第二十一章一元二次方程11
x1=1,=- (4)方程化为x2-8x+17=0. a=1,b=-8,c=17. △=b2-4ac=(-8)2-4X1×17=-4<0. 方程无实数根。 回到本章引言中的问题，雕像下部高度x(单位：m)满足方程 x2+2x-4=0. 用公式法解这个方程，得 x=-=2生2，X1x-④_-2生0-1士5， 2×1 2 x1=-1+5,x2=-1-5. 如果结果保留小数点后两位，那么，x1≈1.24，x2≈一3.24. 这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应 设计为约1.24m 练习 1.解下列方程： (1)x2+x-6=0: (2)x2-3x-=0 (3)3x2-6x-2=0: (404x2-6x=0: (5)x2+4z+8=4x+11: (6)x(2x-4)=5-8x. 2.求第21.1节中问题1的答案 ● 21.2.3因式分解法 问题2根据物理学规律，如果把一个物体 从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经 过xs离地面的高度（单位：m)为 10x-4.9x2. 12第二十一章一元二次方程