@创阅读与思考 黄金分割数 本章引言中有一个关于人体雕塑的问题。要使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以 下)的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？ 把上面的问题一般化，如图1，在线段AB上找一个点C,C把AB分为AC和CB两 段，其中AC是较小的一段，现要使AC:CB=CB:AB.为简单起见，设AB=1,CB= x,则AC-1-x.代入AC:CB=CB:AB,即(1-x):x=x:1,也即x2+x-1=0 解方程，得x=一1生5 根据问题的实际意义，取x50.618,这个值就是上面问题中所求的高度比。 2 人们起5一这个数叫做黄金分制数。如果把一条线段分为两部分，使其中教长一段 与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数 图1 五角星是常见的图案。如图2，在正五角星中存在黄金 分制数，可以关中器-能 长期以来，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数 一些美术家认为：如果人的上、下身长之比接近黄金分图 数，那么可以增加美感.据说，一些名画和雕塑中的人体大 都符合这个比。一位科学家曾提出：在一裸树的生长过程中， n十1年后的树枝数目约是黄金分制数。 n年后的树枝数目 这是著名数学家华罗庚在日本 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家去世前几小时做学术报告，讲 华罗庚曾为普及它作出重要贡就.优选法中有一种0.618法应 解优选法的照片。华先生说过 用了黄金分割数.同学们可以查阅资料，了解0.618法的应用. 他要工作到人生的最后一刻 他实践了自己的诺言 18第二十一章一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程 同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为 反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节继续讨论如何利用一元二次方 程解决实际问题， ①探究1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人， 用代数式表示，第一轮后共有 个人患了流感；第二轮传染中，这些人中 的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有 个人患了流感 列方程 通过对这个问 1+x+x(1+x)=121 题的探究，你对类 解方程，得 似的传播问题中的 x1=10,x2=-12(不合题意，舍去) 数量关系有新的认 识吗？ 平均一个人传染了10个人 思考 如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？ ①探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？ 第二十一章一元二次方程19
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2 1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200（元）. 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额（元）不等同于 年平均下降率（百分数）. 设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1一x) 元，两年后甲种药品成本为5000(1一x)2元，于是有 5000(1-x)2=3000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 为什么选择 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平 22.5%作为答案？ 均下降率约为22.5%. 乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比 较两种药品成本的年平均下降率 公思考 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降 率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ ①探究3 如图21.3-1，要设计一本书的封面，封面长27cm, 宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩 形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四 分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设 计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 图21.3-1 分析：封面的长宽之比是27：21=9：7，中央的矩形的长宽之比也应是 9:7.设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm,由此得上、下边衬与 左、右边衬的宽度之比是 20第二十一章一元二次方程
2(27-9a):2(21-7a） =9(3-a):7(3-a) =9:7. 设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中央的矩 形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面 积是封面面积的四分之三.于是可列出方程 (27-18x)21-14w）-x27×21 整理，得 方程的哪个根 符合实际意义？为 16x2-48x+9=0. 什么？ 解方程，得 x=6±33 4 上、下边衬的宽均为cm,左、右边衬的宽均为」 cm. 8思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请 你试一试. 习题21.3 复习巩固 1.解下列方程： (1)x2+10x+21=0: (2)x2一x一1=0： (3)3x2+6x-4=0; (4)3x(x+1)=3x+3; (5)4x2-4x+1=x2+6x+9; (6)7x2-√6x-5=0. 2.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数 3.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.求两条直角边的长 第二十一章一元二次方程21
综合运用 4.某种植物的主干长出若干数目的支千，每个支干又长出同样数目的小分支，主 千、支千和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 5.一个菱形两条对角线长的和是10cm,面积是12cm2.求菱形的周长. 6。参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加 比寒？ 7.青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg,2012年平均每公顷产8450kg 求水稻每公顷产量的年平均增长率. 8.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等， 且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留 小数点后一位)？ 拓广探索 9.如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有 两横两坚的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2。如果要 使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩 条的宽度（结果保留小数点后一位）？ 10.如图，线段AB的长为1. 第9题 A E D C B (第10题) (1)线段AB上的点C满足关系式AC2-BC·AB,求线段AC的长度； (2)线段AC上的，点D满足关系式AD=CD·AC,求线段AD的长度 (3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD,求线段AE的长度 上面各小题的结果反映了什么规律？ 22第二十一章一元二次方程