整理，得 方程③中未知 -8 数的个数和最高次 数各是多少？ 化简，得 x2-x=56. 由方程③可以得出参赛队数， 公思考 方程①②③有什么共同点？ 可以发现，这些方程的两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数 的最高次数是2.同样地，方程4x2=9,x2+3x=0,3y2-5y=7-y等也是 这样的方程.像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且 未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程的一般形式是 为什么规定 ax2+bx+c=0(a≠0). a≠0？ 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次 项，b是一次项系数；c是常数项. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个 一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做 元二次方程的根(root). 例将方程3x(x一1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得 3x2-3x=5.x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为一8，常数项为一10. 第二十一章一元二次方程3
练习● 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项 系数和常数项： (1)5x2-1=4x: (2)4x2=81: (3)4x(x+2)=25: (4)(3x-2)(x+1)=8x-3. 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x: (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的 长的平方，求较短一段的长工. 习题211 复习巩固 1,将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系 数和常数项： (1)3x2+1=6x: (2)4x2+5x=81; (3)x(x+5)=0: (4)(2x-2)(x-1)=0: (5)x(x+5)=5x-10: (6)(3x-2)(x+1)=x(2x-1). 2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)一个圆的面积是2πm,求半径， (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积是9cm,求较长的直角边的长 3.下列哪些数是方程x2十x一12=0的根？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 综合运用 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式（第4一6题） 4.一个矩形的长比宽多1cm,面积是132cm2,矩形的长和宽各是多少？ 5。有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m的矩形？ 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？ 拓广探索 7.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其他根 4第二十一章一元二次方程
21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 问题1一桶油漆可刷的面积为1500dm, 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状 的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子 的表面积为6.x2dm.根据一桶油漆可刷的面积 列出方程 10×6.x2=1500. 整理，得 x2=25. 根据平方根的意义，得 x=±5， 即 用方程解决实际问 x1=5,x2=-5. 题时，要考虑所得结果 可以验证，5和一5是方程①的两个根，因为 是否符合实际意义 棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm, 般地，对于方程 x2=p, (1) (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 1=一√p,x2=√p; (2)当力=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0: (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有x≥0，所以方程(I)无实 数根 第二十一章一元二次方程5
④操究 对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程(x十3)2=5？ 在解方程的时。由方程225得土5.由此想到：由方程 即 女5，或+3元示5@ 于是，方程(x十3的两个根为《 x1=-3+5,x2=-3-5. 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次” 转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了 4,第红k 练习 解下列方程： (1)2x2-8=0: 02)9x25=33+6-9=0:5事 2。 ①操究 怎样解方程x2+6x十4=0？ 我们已经会解方程(x+3)=5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右 边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x十4=0转化 为可以直接降次的形式再求解呢？ 解方程十6十40的过程可以用下面的框图表示： 6第三十一章一元一次方程
x2+6.x+4=0 为什么在方程 移项 x2+6x=-4的两 边加9？加其他数 x2+6x=-4 行吗？ 两边加9即()】 0O 使左边配成x2+2bx十b2的形式 x2+6x+9=-4+9 左边写成完全平方形式 (x+3)2=5 降次 x+3=5 x+3=5,或x+3=-5 解一次方程 x1=-3+5,x2=-3-5 可以验证，一3士5是方程x2+6x十4=0的两个根. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法.可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方 程来解 例1解下列方程： (1)x2-8x+1=0: (2)2x2+1=3x; (3)3x2-6.x+4=0. 分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法. (2)先把方程化成2x2-3x十1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方， 需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方 解：(1)移项，得 x2-8x=-1. 第二十一章一元二次方程7