重庆邮电大学：非线性控制理论与技术教材《非线性系统理论》课程PPT教学课件_第六章 非线性系统反馈线性化控制

6.2输入-状态线性化 考查形如 x=f(x, u 的单输入非线性系统的控制输入l的设计问题。用输入-状态线性 化解决这个问题需要两个步骤 第一步:找到一个状态变换z=(x)和一个输入变换l=u(x,v),以 使得非线性系统转化为一个等价的线性定常系统,及熟知的形 式云=Az+b 第二步:利用标准线性化技巧(如极点配置)取设计vo

6. 2 输入-状态线性化 考查形如 的单输入非线性系统的控制输入u的设计问题。用输入-状态线性 化解决这个问题需要两个步骤： 第一步：找到一个状态变换z=z(x)和一个输入变换u=u(x,v)，以 使得非线性系统转化为一个等价的线性定常系统，及熟知的形 式 ； 第二步：利用标准线性化技巧（如极点配置）取设计v。 z Az bv = + x f x u = ( , )

63数学工具 631向量场的李代数结构 考查状态x的一个光滑栎量画数H(x),记h(x)的梯度为Mh,Ah= 梯度是一个行向量且第j个元为(M)=0m/a,。考查一个向量场fx ,记的雅克比矩阵为一巛,这是一个mN矩阵且(4/=x 菡数的李导数设λ是定以在流形N上的一个光滑实值函数,即 λ∈C"(N),∫是N上的一个光滑向量场。菡数λ沿向量场f方向的是 李映射 C"(N)→>C(N) L4(P)=(f(P)4) p∈UcN 的结果。如果流形N=R",则函数λ沿某向量场f方向的李导数可 具体表示为: f1 00 kx)=∑()ax,=a

6.3数学工具 6.3.1向量场的李代数结构 考查状态x的一个光滑标量函数h(x)，记h(x)的梯度为 ， 梯度是一个行向量且第j个元为 。考查一个向量场f(x) ，记f的雅克比矩阵为 ,这是一个 nxn矩阵且 函数的李导数 设λ是定义在流形N上的一个光滑实值函数，即 是N上的一个光滑向量场。函数λ沿向量场f方向的是 李映射： 的结果。如果流形 ，则函数λ沿某向量场f方向的李导数可 具体表示为： h h h x   =  ( ) / j j  =   h h x f f x   =  ( ) / ij i j  =   f f x C (N), f    ( ) ( ( ))( ) p U N : ( ) ( ) =    →  L  p f p  L C N C N f f n N = R =    =   =                         = = f d f x x f x f f x x L x T n i i i n n f ( ) ( ) ( ) , 1 1 1       

四个俐题 例6.7考虑受控方程二阶李导数x1=x1 解:设∫ (x)=x1 元(x)=[ 则有 L22

四个例题 例6.4考虑受控方程 解： 设 则有 1 2 2 2 1 1 2 1 (1 ) x x x x x x u y x  = = − + − + = 2 2 1 1 1 2 , ( ) (1 ) x f x x x x x     = =   − + −     2 2 2 1 1 2 ( ) 1 0 (1 ) f x L x x x x x     = =     − + − 例6.5 考虑受控方程 解： 设 则有 附注：高阶李导数 函数的高阶李导数由以下递推形式定义 k阶李导数为 约定：零阶李导数为 1 1 2 2 1 x x x x u y x = = + = 1 1 2 , ( ) x f x x x    = =       1 1 2 f ( ) 1 0 x L x x x    = =     ( ) 1   − = k f f k Lf L L ( ) 1 1   − − = k g f k Lg Lf L L  =  0 Lf 例6.6 考虑受控方程二阶李导数\ 解: 设 则有 1 2 2 2 1 1 2 1 (1 ) x x x x x x u y x  = = − + − + = 2 2 1 1 1 2 , ( ) (1 ) x f x x x x x     = =     − + −   2 2 2 1 1 2 ( ) 1 0 (1 ) f x L x x x x x     = =     − + −   2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 ( ) 0 1 (1 ) (1 ) f x L x x x x x x x      = = − + −     − + − 例6.7考虑受控方程二阶李导数 解： 设 则有 1 1 2 2 1 x x x x u y x = = + = 1 1 2 , ( ) x f x x x    = =       1 1 2 f ( ) 1 0 x L x x x    = =       2 1 1 2 f ( ) 1 0 x L x x x    = =    

632李积或李括号 李积武李括号是一个映射代树]李括号性质 (1)双线线性 /,gNp))=(,2Xp)-(L2L(2)反对称性 (3)雅可比恒等式 武简写为:[f,g1=L,L2元-L Lad gh=lrlgh-lglrh 李积的计算公式:[f,g12=L,L2 例6.8设系统x=f(x)+g(x) 其中/+ g(x)= coSx 02x) 01-2x1+ [f,g]= -2 sin(2x 0-x, cos x nx cos x,Lcos(2x,) 它们的李括号为: a cos(2xu) I x1)(-2x1 nx)

6.3.2李积或李括号 李积或李括号是一个映射 或简写为： 李积的计算公式： [ , ]:V V →V ([ f , g]( p))() = (Lf Lg )( p) − (Lg Lf )( p) f, g  V(N) p  U  N [ f , g] = Lf Lg  − Lg Lf          −     = − = g x f f x g x f g L L L L f g g f T T T  [ , ]   例6.8 设系统 其中 它们的李括号为：x f x g x u = + ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 sin 0 ( ) ( ) cos cos(2 ) x ax x f x g x x x x   − + +   = =       −   1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 2 sin 2 cos [ , ] 2sin(2 ) 0 cos(2 ) cos sin cos cos(2 ) cos cos(2 ) 2sin(2 )( 2 sin ) x ax x x a f g x x x x x x x a x x x x x ax x         − + + − + = −             −     − −  =   − − + +    李括号性质 （1）双线线性 （2）反对称性 （3）雅可比恒等式 ad g f g g f f L h L L h L L h = −

633微分同胚和状态变换 本节讨论单输入非线性系统的翰入-状态线性化问题,设系统的 状态方程为(仿射东统) x=f(x)+g(x) 其中,∫和g是光滑向量杨。 需要研宪的是:这个系统何时能由状态和输入变换线性化,怎样 找到这样的变换,以及怎样基亍这样的反馈线性化设计控制器

6.3.3微分同胚和状态变换 本节讨论单输入非线性系统的输入-状态线性化问题，设系统的 状态方程为（仿射系统） 其中，f 和g是光滑向量场。 需要研究的是：这个系统何时能由状态和输入变换线性化，怎样 找到这样的变换，以及怎样基于这样的反馈线性化设计控制器。 x f x g x u = + ( ) ( )