第七章非线性系统反步控制 71吠态反馈控制 7.1.1稳定性 71.2局部浙近镇定 7.1.3全局渐近镇定 72反步设计法 73高阶系统反步设计 74高阶系统反步控制设计友用
第七章 非线性系统反步控制 7.1 状态反馈控制 7.1.1 稳定性 7.1.2 局部渐近镇定 7.1.3 全局渐近镇定 7.2 反步设计法 7.3 高阶系统反步设计 7.4 高阶系统反步控制设计应用
7.1状态反馈控制 反步控制( backstepping)技术提出了虚拟控制器的欐念,采 用反推的方法,利用系统的结枸特性递推构造出系统的李雅普 若夫函数,从而设计出控制器,保证系统的稳定性。 反步控制设计在选取李雅普若夫画数和控制器设计时有较大的 灵活性。由于其构造过程简单,处理不确定性的能力,反步 控制这种算店在飞行器、电机、机器人等控制系统中得到了广 泛的应用
7.1 状态反馈控制 反步控制（backstepping）技术提出了虚拟控制器的概念，采 用反推的方法，利用系统的结构特性递推构造出系统的李雅普 若夫函数，从而设计出控制器，保证系统的稳定性。 反步控制设计在选取李雅普若夫函数和控制器设计时有较大的 灵活性。由于其构造过程简单，处理不确定性的能力强，反步 控制这种算法在飞行器、电机、机器人等控制系统中得到了广 泛的应用
7.1.1稳定性 考虑一个部分反馈线性化系统 1=f6(,95) i=f6(7,5) 5=A+By(x)[-a(x) (7.1) 5=(A-BK) 7(x) 其中 =n=T(x)=(x)阆标是设计一个收态反馈控制律,使原 点Z=0稳定 个状态反馈控制 ll=ax(x)+B(x)ν (7.2) 其中β(x)=y(x)上述系统化为“三角”系统:=J(7,5) 通过V=-K稳定占的方程, 5=A5+B 整个闲环系统:丌=f6(7,5) (A- BK)S
7.1.1 稳定性 考虑一个部分反馈线性化系统 （7.1） 其中 目标是设计一个状态反馈控制律，使原 点z=0稳定。 一个状态反馈控制 （7.2） 其中 ，上述系统化为“三角”系统： 通过 稳定 的方程， 整个闭环系统： 0 ( , ) ( )[ ( )] f A B x u x = = + − 1 2 ( ) ( ) ( ) T x z T x T x = = = u x x v = + ( ) ( ) 1 ( ) ( ) x x − = 0 f ( , ) A Bv = = + 0 ( , ) ( ) f A BK = = − v K = − 0 ( , ) ( ) f A BK = = −
原点的渐近稳定性 原点的浙近稳定性可由系统们=f(7,0)的浙近稳定性得出: 引理如果=6(m0)的引理如果=6(7,5)是 原点是渐近稳定的,则系统输入状态稳定,则系统 1=f6(,9) 7=f0(,9) (A-)5 E=(A-BK)5 的原点也是渐近稳定的。 的原点是全局稳定的。 说明系统η=f(75)的输入一状态稳定性,不 能由η=J0(70)的原点的全局渐近稳定性甚至指 数稳定性推出。 △废電犬
原点的渐近稳定性 原点的渐近稳定性可由系统 = f 0 ( ,0) 的渐近稳定性得出： 引理 如果 是 输入-状态稳定，则系统 的原点是全局稳定的。 引理 如果 的 原点是渐近稳定的，则系统 的原点也是渐近稳定的。 0 = f ( ,0) 0 ( , ) ( ) f A BK = = − 0 = f ( , ) 0 ( , ) ( ) f A BK = = − 说明 系统 的输入-状态稳定性，不 能由 的原点的全局渐近稳定性甚至指 数稳定性推出。 0 = f ( , ) 0 = f ( ,0)
7.12局部浙近镇定 定理7.1假定系统(7.1)的相对阶为,且系统的零动态是局部 渐近稳定的,选取常数阳使得多项式K(p)=p+k-p-+…+kp+k 所有的根都严格地在左半平面内,则控制律(7.2)可以使闭环 系统局部澌近稳定。 解:其在0点的线性化后是x=0 例71考查非线性系统 x2=3x2+l1 有一个相应于纯积分器不能控模态。 但如定义输出函数为y=-2x1-x2 元=3x2+L 其相对阶是1,是因为 =-2x-x2=-2x1x2-3x2-l d t 相应的零动态(通过y=0得到)x=-2x 是稳定的 废哪常无虚
7.1.2 局部渐近镇定 定理7.1 假定系统（7.1）的相对阶为r，且系统的零动态是局部 渐近稳定的，选取常数ki使得多项式 所有的根都严格地在左半平面内，则控制律（7.2）可以使闭环 系统局部渐近稳定。 1 1 1 0 ( ) r r K p p k p k p k r − = + + + + − 例7.1 考查非线性系统 2 1 1 2 x x x = 2 2 x x u = + 3 解： 其在0点的线性化后是 有一个相应于纯积分器不能控模态。 但如定义输出函数为 其相对阶是1，是因为 相应的零动态（通过y=0得到） 是稳定的。 1 2 2 0 3 x x x u = = + 2 1 2 y x x = − − 2 1 2 1 2 2 2 2 3 dy x x x x x u dt = − − = − − − 3 1 1 x x = −2