第四节直纹面与可展曲面4、1直纹面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。2、直纹面的方程（1）设导线为（c):a=a(u)，b(u)是过导线上一点a(u)处的直母线上的单位向量，则有：b(u),r = a(u)+vb(u)a其中直纹面上一点P到导线(c)上的点 a(u)的距离为v0（2）坐标曲线v-曲线，r=a(uo)+vb(uo）为直母线;u-曲线，π=a(u)+y.b(u)为与导线平行的曲线
第四节 直纹面与可展曲面 1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。 2、直纹面的方程 （1）设导线为 ， 是过导线上一点 处的直母 线上的单位向量，则有： 其中直纹面上一点 P 到导线 上的点 的距离为v。 (c): a a(u) = b(u) a(u) r a(u) vb(u) = + a(u) b(u) a(u) (c) o （2）坐标曲线 v-曲线， 为直母线； u-曲线， 为与导线平行的曲线。 ( ) ( ) 0 b u0 r a u v = + ( ) ( ) r a u v0 b u = + 4、1 直纹面
(3)几种特殊的直纹面b(u)=b。为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。a(u)=a。为常向量，任意母线过一定点，为锥面。b(u)=α为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面3、直纹面的法向量与高斯曲率(1) 由 π=a(u)+vb(u)得 =a(u)+vb(u)，r,=b(u)r, ×r, =(a'(u)+vb'(u)×b(u) = a'×b +vb'×b （2）当P点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下：a'×b不平行b'×b，即(a,b,b)≠0，法向量改变方向a)a'xb // b'xb,即(a',b,b)=0），法向量不改变方向，b)即沿一条直母线有相同的法向量或切平面
(3)几种特殊的直纹面 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面 0 b(u) b = 0 a(u) a = b(u) = 3、直纹面的法向量与高斯曲率 r a (u) vb (u) , u = + r b(u) v = r a(u) vb(u) （1）由 = + 得 r r (a (u) vb (u)) b(u) a b vb b , u v = + = + （2）当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法 向量变化如下： a) ，法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。 a b bb， (a ,b,b) 0 不平行 即 a b // bb， (a ,b,b) = 0 即
（3）高斯曲率由 r =a(u)+vb'(u)，,=b(u)=0ru =a"(u)+vb"(u) ,rm=b'(u),M=rim-n= (a'xb).b(a',b,b')N=rn=0VEG-F2VEG-F2- M?(a',b,b)?LN- M?K:EG-F2EG-F2(EG-F2)2因此对于情形a)有(a',b,b)0，K<0。b)有(a,b,b)=0 ，K=0。另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线
（3）高斯曲率 由 r a (u) vb (u) , u = + r b(u) v = r a (u) vb (u) , uu = + 0 ruv = b(u), rvv = , 0. ( ) ( , , ) 2 2 = = − = − = = N r n EG F a b b EG F a b b M ru v n vv 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , , ) EG F a b b EG F M EG F LN M K − = − − − = − − = 因此对于情形 a) 有 ，K<0。 b) 有 ，K= 0。 (a ,b,b) 0 (a ,b,b) = 0 另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近 线，即直纹面上的渐近曲线
4、腰曲线(c)b(u+ △u)定义：如图M，M'为直母线1，I11M的公垂线，当VY→OA4r.a(u+Au)垂足M沿直母线1趋向于极限位置b(u)Mo，称为直母线I上的腰点。aMr腰点的轨迹为腰曲线。它的表示0为a'.bb(u)r=a(u)b"2特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径r就是α(u)，因此有a'·b'=0，即它们垂直
4、腰曲线 r M l b(u) a(u) (c) o a(u + u) b(u + u) r r + M 定义:如图M， 为直母线 l , l 的公垂线，当 垂足M沿直母线 l 趋向于极限位置 M0，称为直母线 l上的腰点。 腰点的轨迹为腰曲线。它的表示 为 M l u →0 ( ) ( ) 2 b u b a b r a u = − 特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径 就是 ， 因此有 ，即它们垂直。 r a(u) a b = 0
二、可展曲面1、定义：称满足(a,b,b)=0的直纹面为可展曲面。由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面。2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。证明：对于可展曲面有(a',b,b')=0，取腰曲线为导线，a'.b'=0（1）当a(u)=0,则a为常向量，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点方程为 =r+vb(u)(2）a≠0，由于(a',b,b)=0，则三向量共面，且=1,b'b,但a'b，所以a'lb→=a+va'为切线曲面。（3）b'=0,b为常向量，所有直母线平行，为柱面
二、可展曲面 1、定义：称满足 的直纹面为可展曲面。 由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 (a ,b,b) = 0 证明：对于可展曲面有 ，取腰曲线为导线， （1）当 ，这时腰曲线退化成一点，所 有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。 方程为 （2） ，由于 ，则三向量共面，且 (a ,b,b) = 0 a b = 0 a u 则a为常向量 ( ) = 0, ( ) 0 r r vb u = + 0 a (a ,b,b) = 0 b b b 但a b ， 所以a b r a va 为切线曲面。 =1, ⊥ , ⊥ // = + （3）b b为常向量，所有直母线平行，为柱面。 = 0