《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.5 曲面论的基本定理

第五节曲面论的基本定理一些符号u=u,u=v,=,=,u=r1, Pu,= ri2,u=21, , =22E=·=g11,F=·=812=821,G=· =822EG-F2=811812=gg21 22L=i·n= Lu, M=2·n=21n= L2 = L21, N=r22 ·n= L22 -Z,Z - Z,Za"b =ZaPbe,Zabep=Za"brβα,βY,o=一1.11=1=.，（2）只对上，下注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，标相同的标号求和。I = Edu? +2Fdudv+Gdy?= gudu'du' + gi2du'du? + g2idu’du' + g22du'du? - g,du'dui,jII = Ldu? + 2 Mdudv + Ndy? = L,du'du1

第五节 曲面论的基本定理 一些符号 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , r r r r r r r r u u u v r r r r u u u v vu vv u v             = = = = = = = = 1 1 11 1 2 12 21 2 2 22 E = r r = g ,F = r r = g = g ,G = r r = g       g g g g g EG − F = = 21 22 2 11 12 11 11 12 21 12 21 22 22 L = r n = L ,M = r n = r n = L = L ,N = r n = L          =  =   =  = = = =               , , 2 1 2 , 1 2 1 , , a b a b , a b a b i i i j i j 注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，（2）只对上，下 标相同的标号求和。 = + + + =   = + + i j i j g du du g du du g du du g du du gi jdu du Edu Fdudv Gdv , 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 i j i j   = Ldu + Mdudv + Ndv = Li jdu du , 2 2 2

5、1曲面的基本方程与克氏符号给出了一个c类的曲面S:π=r(u,v)，可确定三个向量r,r2,n对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示，于是令=+an,n,=Zu(i, j - 1,2)..........(1上式中第一式点乘n，得到n.n,=ZFr·n+an.n→L,=a又gj=r·，，两边求导得u=,+ogij=+QuiOuu=,T+后两式相加并减去第一式得Quj

5、1 曲面的基本方程与克氏符号 给出了一个 类的曲面S： ，可确定三个向量 对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子， 但我们希望用一个简便的式子表示，于是令 3 c r r(u, v)   = r r n    , , 1 2      = =  =  +   i j j i i k k i j k i j i j n r i j r r n ( , 1,2) (1) ,        上式中第一式点乘 n ，得到  i j i j k k i j k n ri j =i jr n +  n n  L =        又 gij ri rj ，两边求导得   =  , il j i jl l ij r r r r u g     =  +    , ij l i lj j il r r r r u g     =  +    , ji l j li i jl r r r r u g     =  +    后两式相加并减去第一式得

Og j1agi)Ogit=i,.i=ZFfgu(2)[i,]]=OuOui2ouk令（g"）是（gi）的逆矩阵并采用克罗内尔符号[1,i= jEg"gh =8ji, j=1,2[0,ij,kog jlogijogilklZg"[i,-Z2gnEg"ErfghtOuiOuouk-ErEg"gu=Erf=Fhi, j,k =1,2kk还可得到，=F，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络系数，[i,]称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。对于曲面上的正交网，F=0，有P133

( ) (2) 2 1 [ , ] kl k k i j l i j l i j i j l j i l r r g u g u g u g ij l =  =   −   +   =   令 ( ) 是 的逆矩阵并采用克罗内尔符号 ij g ( ) ij g , 1,2. 0, , 1, , =     =  = = i j i j i j g g k i kj j i k  . , , 1,2. ( ) 2 1 [ , ] =  =  =  = =    −   +   =        g g i j k g g u g u g u g g ij l g k i j k k i j l kl kl k k i j kl k k i j l kl l i j i j l j i l l kl l kl 还可得到 ，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络 系数，[ij,k]称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号 有P133。 对于曲面上的正交网，F=0，有P133。 k ji k ij = 

对（1）中的第二式两边点乘r-Li=n,·ri=Zuigjk,i,k =1,2ZgkLik=ZgkZugjk=ZuZgkgik=Zu=ukkkk用过去的符号有P133。于是得到,,n的导向量公式 =Zrr+L,n,kn, =-ELig'"rj,...(1)(i, j - 1,2)........j,k称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫温加顿方程

对（1）中的第二式两边点乘 k r  − L = n r = g , i, k =1,2. j k j j i k i k i   − =   =   =  = . k j i j i k j j k j j k j k i j j i k j k i k k j k g L g  g  g g   用过去的符号有P133。 于是得到 的导向量公式： 称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式 叫温加顿方程。 r r n    , , 1 2      = − =   =  +   j k j kj i i k k k i j k i j i j n L g r i j r r L n , , ( , 1,2) (1) ,     

5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式一、曲率张量1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为ari_ark.DZ(FPTpk -IRFb),i, j,k,1 = 1,2.二ikQukQujO2、性质1）反对称性（关于j,k），即 Rik=-R%直接代入定义可得到。特别地：R=0性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即RU+RN+Ru=0?2此式称为Ricci恒等式。（直接验算）3、定义另一方种黎曼曲率张量为Rmijk = ZgmRuk,m,i,j,k = 1,2由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质：

5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式 一、曲率张量 1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为 + (  −   ), , , , =1,2.   −   =  i j k l u u R p l p j p i k l p k p i j j l i k k l l i j ijk 2、性质1）反对称性（关于j,k），即 直接代入定义可得到。特别地： l ikj l Rijk = −R = 0 l Rijj 性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即 此式称为Ricci恒等式。（直接验算） + + = 0 l kij l jki l Rijk R R 3、定义另一方种黎曼曲率张量为 由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质： R =g R ,m,i, j, k =1,2 l ijk l mijk ml