《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.2 曲面的第一基本形式

第二节?由曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长1、给出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲线(c)：u=u(t),v=v(t);或r=r[u(t),v(t)] =r(t),dudv或r'(t)dr = rudu+r,dy+r、1+r dtdt ds? = dr2 =(r,du+r,dv)?若s表示弧长有=r .r,du? +2r, -r,dudv+r, .r,dyI=Edu?+2Fdudv+Gdy所以称为曲面的第一基本形式。其中E=rr,F=rr,G=rr称为第一类基本量

第二节 曲面的第一基本形式 2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中 称为第一类基本量。 或 dt dv r dt du r t r = u + v ( ) dr r du r dv = u + v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) Edu Fdudv Gdv r r du r r dudv r r dv ds dr r du r dv u u u v v v u v  = + + =  +  +  = = +       u u u v v v E r r F r r G r r       =  , =  , = 

2、曲线（C)上两点A（to），B（t)间的弧长为：dv)du dvdud+2FdtLGs(dt,dt dtdtto dt3、用显函数样z=z(x，y)表示的曲面的第一基本形式r =(x,y,z(x, y)OzOzr=(1,0,p), r, ={0,,q), p.qaxayE=rr=1+p,F=rr,=pq,G=r,.r,=l+qI = (1 + p)dx2 +2 pqdxdy+(1 +q)dy4、第一基本形式是正定的。事实上,E=ruru=r2>0,G=r2>0,EG-F2=rr2-(·r)2>0也可从I=ds2直接得到

2、曲线 (C)上两点 A (t0 ) , B (t1 ) 间的弧长为： dt dt dv G dt dv dt du F dt du dt E dt ds s t t t t         + +      = = 1 0 1 0 2 2 2 3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) 1 , , 1 {1,0, }, {0,1, }, , . { , , ( , )} p dx pqdxdy q dy E r r p F r r pq G r r q y z q x z r p r q p r x y z x y x x x y y y x y  = + + + + =  = + =  = =  = +   =   = = = =          4、第一基本形式是正定的。 事实上， 也可从 直接得到。0, 0, ( ) 0. 2 2 2 2 2 2 E = ru ru = ru  G = rv  EG − F = ru rv − ru rv  2  = ds

例题1：求球面的第一基本形式r ={Rcoscos@,RcosOsin @, Rsin 0)例2：正螺面zr.z0B函 2-5图2-7x =ucosv, y=usinv,z=avI = ds? = du? +(u? +a)dy?

例2：正螺面 2 2 2 2 2 ( ) cos , sin , ds du u a dv x u v y u v z av  = = + + = = = 例题1：求球面的第一基本形式 r ={Rcos cos,Rcos sin ,Rsin } 

2、2.曲面上两方向的交角1、把两个向量dr=r.du+rd和Sr=r.Su+r.Sv间的交角称为方向（du:dy）和（Su:S）间的角。2、设两方向的夹角为①，则dr . Sr(r,du + r,dv)(r,Su + r,ov)cOsdr|lor]Vdr?Vor2EduSu+ F(duov + Sudv)+GdvdiEdu?+2Fdudy+Gdy?ESu?+2FSu&+G&23、特别(1)(d)(8) Edu&u+F(duo+Sud)+Gdvv=0(2）对于坐标曲线的交角，有Fdr.Srrr.cOsAVEGdrorrur故坐标曲线正交的充要条件为F=0

2、2 曲面上两方向的交角 1、把两个向 量 和 间的交角 称为方向（ ）和（ ）间的角。 dr r du r dv = u + v r r u r v  = u  + v  du : dv u :v 2、设两方向的夹角为  ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) cos Edu Fdudv Gdv E u F u v G v Edu u F du v udv Gdv v dr r r du r dv r u r v dr r dr r u v u v               + + + + + + + = + + =  = 3、特别 （1） （2）对于坐标曲线的交角，有 故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。 (d) ⊥ ( )  Eduu + F(duv +udv) + Gdvv = 0 EG F r r r r dr r dr r u v u v =  =  =   cos

2、3正交曲线簇和正交轨线设有两曲线Adu+Bdv=O，C(u,v)Su+D(u,v)Sv=O如果它们正交，则Eduu+F(dud+Sudv)+GdvSv= 0dvdv Svdy或=0E+du SuSudu4ACE-=0即B DBD若另给出一簇曲线Adu+Bdv=O，则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程A1Sv是A、SvE+F=0BBSuSuSiBE-AF即SuBF-AG

2、3 正交曲线簇和正交轨线 设有两曲线 如果它们正交，则 或 即 Adu + Bdv = 0 , C(u,v)u + D(u,v)v = 0 Eduu + F(duv +udv) + Gdvv = 0 + ( + ) + = 0 u v du dv G u v du dv E F     − ( + ) + = 0 D C B A G D C B A E F 若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即 Adu + Bdv = 0 , + (− + ) + (− ) = 0 u v B A G u v B A E F     BF AG BE AF u v − − = −  