第七节常高斯曲率的曲面7.1常高斯曲率的曲面设曲面S：r=r(u.v)的高斯曲率为常数，在曲面上任取点P和过P点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u-0,即v线中的一条且从P点起的弧长为V，取与（C）正交的测地线簇为线，取这簇测地线的正交轨线（包含（C））为v线，则得到一半测地坐标网，因此曲面的第一基本形式可写为I = ds? = du? +Gdy?由假设√为曲线的弧长，所以dv2 = ds2 =G(0, v)dv2, : G(O, v) = 1,G,(O, v) = 0由第五节习题知，对于半测地坐标网1 α2/Gα?/G+K/G=0K=Ou?JG Qu?根据初始条件G(0,v)=1,G,(O,v)=0这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况：
第七节 常高斯曲率的曲面 7.1 常高斯曲率的曲面 设曲面 S：r = r(u,v) 的高斯曲率为常数，在曲面上任取点 P 和过 P 点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u=0,即v线中的一条， 且从P 点起的弧长为v，取与（C）正交的测地线簇为u线，取这簇 测地线的正交轨线（包含（C））为v线，则得到一半测地坐标网， 因此曲面的第一基本形式可写为 2 2 2 = ds = du + Gdv 由假设 v 为曲线的弧长，所以 由第五节习题知，对于半测地坐标网， (0, ) , (0, ) 1, (0, ) 0. 2 2 2 dv = ds = G v dv G v = Gu v = 0. 1 2 2 2 2 + = = − K G u G u G G K 根据初始条件 这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况： G(0,v) =1,G (0,v) = 0. u
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程a?/G+KVG=0Qu?的通解为 G=A(v)cos/Ku+B(v)sin Ku这里A(v),B(v)都是v的函数，由初始条件G(0,v) = 1,G,(0,v) = 0可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为I = ds? = du? + cos? Kudy例：球心在原点，半径为R的球面
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如： G = A(v) cos Ku + B(v)sin Ku （1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程 的通解为 这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件 可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为 0. 2 2 + = K G u G G(0,v) =1,G (0,v) = 0. u 2 2 2 2 = ds = du +cos Kudv 例：球心在原点，半径为 R 的球面
(2）K=0，则微方程的通解为VG=A(v)+B(v)u，由初始条件得√G=1，因此 I=du2+dv2与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。（3）K<0，则微分方程的解为G = A(v)cosh - Ku+ B(v)sinh - Ku由初始条件得 A(v)=1，,B(v)=0I = ds? = du? +cosh? -Kudy下一节讨论这种情形
（2）K=0 ，则微方程的通解为 G = A(v) + B(v)u ，由初始条 件得 因此 与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。 G =1, 2 2 = du + dv （3）K<0，则微分方程的解为 由初始条件得 下一节讨论这种情形。 G = A(v) cosh − Ku + B(v)sinh − Ku A(v)=1，,B(v)=0 2 2 2 2 = ds = du +cosh −Kudv
7.2 伪球面（负高斯曲率的曲面）1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z轴之间的线段始终保持定长α，此曲线称为电物线，z轴称为它的渐近线。2、电物线的方程设它的参数表示为 x=x(t)，z-z(t),曲线上一点 P(x,z)的切线的dxdzdxdz），故切线上一点的坐标是x+αz+α的方向为dt"dtdtdtdxX=0=α=-如果这点在oz轴上，则横坐标为0，即x+α1.dtdt求得曲线在P点的切线与z轴的交点的坐标为(0,z-xdz//dx由两点间距离公式得Va?-x?dz*+(-xd/d) =a' =→++=α2dz =±dxdxx令x=asint并两边积分x=asin t得电物线方程为：z= ±a(ln tan +cost)
7.2 伪球面 （负高斯曲率的曲面） 1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z 轴之间的 线段始终保持定长a ，此曲线称为曳物线，z 轴称为它的渐近线。 2、曳物线的方程 设它的参数表示为 x=x(t) , z=z(t) ,曲线上一点 P(x,z) 的切线的 的方向为 ，故切线上一点的坐标是 如果这点在 oz 轴上，则横坐标为0，即 求得曲线在 P 点的切线与z 轴的交点的坐标为 由两点间距离公式得 { , } dt dz dt dx { , } dt dz z dt dx x + + dt dx x dt dx x + = 0 = − {0, } dx xdz z − dx x a x a dz dx dz a x x dx xdz x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) − = = + − = + 令 x=asint 并两边积分 得曳物线方程为： = + = (ln tan cos ) sin 2 z a t x a t t
3、伪球面将ozx平面上的电物线绕oz由旋转一周所得的旋转面叫伪球面，它的参数表示为x =asin tcosoy=asintsin z=±a(ln tan +cost)计算知I=ds?=du2+Gdy2=du2+α?edy2因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，线是测地线，其高斯曲率为1 α?/G1K=G Qu?Va'e所以伪球面为负高斯曲率的曲面。这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0时，曲面与球面等距，K-0时与平面等距，K<0时与伪球面等距
3、伪球面 将 ozx 平面上的曳物线绕oz 由旋转一周所得的旋转面叫伪 球面，它的参数表示为 = + = = (ln tan cos ) sin sin sin cos 2 z a t y a t x a t t 计算知 因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高 斯曲率为 2 2 2 2 2 2 2 ds du Gdv du a e dv a u = = + = + 所以伪球面为负高斯曲率的曲面。 . 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a a e a e u G G K a u a u = − = − = − 这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与 球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距