-目录第一章向量$1.1基本内容.11.向量2.向量加法3.数乘向量4.线性相关和线性无关5.基和分盘6.尚7、正交向最8.标准正交基9.定尚基10.向最的向盈积11。混量的数量积"合积和向量恒等式1.2向题及其解答..10.3.线性相关和线性无关1.向量加法2.数乘向量4.基和分量5. 数量积6.正交向量7.标准正交基8. 定向9.向量积10.混合积$1.3补充题…...19.-22第二章一个实变数的向量函数，82.1基本内容222.邻城1.直线和平面3.向量函数4.有界函数5.极限6.极限的性质7.连续8.微分9.微分公式10.Cm类函数11.泰勒公式13.解析函数2.2问题及其解答-332.函数1.直线和平面3.极限和连续4，微分5.泰勒公式和解析函数2.3补充题·..43第三章曲线概念….4683.1基本内客461.正则表示2.正则曲线3.正射影4.曲线的隐式表示5.C类正则曲线6.孤长的定义7.弧长参数3.2问题及其解答..551.正则表示2.正则曲线3.弧长3.3补充题63第四章曲率和挠率.664.1基本内容.661.单位切尚量2.切线和法平面3.曲率4、单位主法向量5.主法线和密切平面6.副法线，活动三棱形7.绕率8.球面标形4.2问题及其解答..761，切线和法平面2.曲率3.活动三棱形4.挠率5.球面标形$4.3补充题.84第五章曲线论：-875.1基本内容..871.Fronet方猴2.自然方程3.存在唯-性基本定理4.曲线的规范表示5.新伸线
96.渐屈线7.切触理论8.密切曲线和曲面5.2问题及其解答..9S1.自然方程，基本定理2.渐伸线和渐屈线3.切触逛论，密切曲面95.3补充题-107..109第六章欧氏空间拓扑初步-10956.1基本内容...1.开集2.闭集，极限点3.连通集4.紧致集5.连续映射6.同胚58.2问题及其解答...1181.开集，闭集3.连续映射，同胚2、连道集，紧致集96:8补充题·126第七章以向量为变元的向量函数-128..12887.1基本内容1.向量函数2.线性函数3连续和极限6.复合4.方网导数5，可微函数r城函数，链法则7.C类函数,泰勒公式8.反函数定理7.2问题及其解答"...1438. 方向导裂,可微菌效1.向量函数,线性函数2.连续和极限4：复合函数，链法则5.0类函数，反函数定理≤7.3补充题.158-第八章曲面概念.15088.1基本内容1591.正则参数表示2.坐标曲面片3.简单曲面的定义4.切海和法线5.简单曲面的拓扑性质8.2问题及其解答-1701.正则参数表示2.简单曲面3.切面和法线4.简单曲面的拓扑性质98:3补充题.-179第九章第一和第二基本形式.18159.1基本内容.1811.第一基本形式2.弧长和曲面面积3.第二基本形式4.法曲率5.主方向和主曲福6：高斯曲率与中曲率7.曲率线8.罗德里克公式9.满近曲线——共轭曲线族9.2问题友其解答...1971.第一基本形式，弧长，阳面面积2.第二基本形式3.法曲率，高斯调率和中曲率4.曲率线5，近曲线一共轭曲线旅$9.3补充题.-208第十章曲面论张分析--21110:1基本内容-2111：高斯-魏因加尔吞方望9.方程的相客性和高斯定理3.曲面的基本定理4，面面的某些整体定理“5：记号6.流形初步7.张盛8.张量代数9.张量在曲面论方
3程中的应用10.2问题及其解答2263.张的应用1.曲面论2.张量510.3补充膜..239.242第十一章内几何$11.1基本内容·.-2421.曲面的映射2.等距映射，内蕴几何3.测地曲率4.测地线5.测地坐标6.测地极坐标8.常高斯曲率曲面9．高斯-邦尼特定理7.极小长弧$11.2问题及其解答.2611.曲面的映射2.等距映射3.测地线4.测地坐标5.常高斯曲率曲面，6.高斯-邦尼特定理$11.3补充题276附录 I曲线的存在定理878附录Ⅱ279典承的存在定理：
第一章向量$1.1基本内容引言微分儿何是使用微积分方法研究儿何图形的学科：这里介绍三维欧儿里得空间E中曲线和曲面的理论，典线和曲面在一点邻近处的性质称为局部性质，研究局部性质的几何，称为局部微分几何，涉及整个几何图形的性质，称为整体性质，研究整体性质，特别是与局部性质有关的整体性质的儿何就称为整体微分儿何例1.1设Q和R是平面曲线T上P点附近的两个点，Oo是通过P，Q和R的，如图1-1所示，现在考虑当Q和R趋近P时，Oo的极限位置，一般来说，这极限位置是一个与T相切于P的圆O.圆O的半径是T在P的曲率半径。因为这个曲率半径仅仅由T上靠近P的点所决定，故它是曲线的局部性质。图1-1图1-2例1.2图1-2所示的麦比乌斯带甚单侧曲面的一个例子，因单侧性由整个曲面的性质所决定，故它是图形的整体性质。注意，该曲面上任意点P周围的一小块是正则的双侧曲面，即局部地看，麦比乌斯带是双侧的，我们首先研究曲线和曲面的局部性质，再把结果应用子整体微分儿何问题，下面先复习E中的向量，1. 向世所谓欧几里得空闻E就是有序三数组a一（at，，a3）的集合，其中a1，a，a是实数一个向量就是E中的一个点，记作a，b，c，&，，或P，Q，R，，向最a的反向量记作一a，定义为一a=（一a,a2，)。零向量是向量0(0,0,0).向量a=(a1,aas）的长度或大小是实数amV+十显然a=0，并且当且仅当=0时，a02.向景加法设a=（a,a，as)和b(b1，ba,ba)是的两个向量，它们的和a+6是用下式确定
盘［21第章向的向量，a+6-(a1+b1,ag+bg,as+bs)两个向量α和b的差是向量-b6=a+（一6）.在问题1.1中证明向量加法满足[A]a+bb+a（交换律),[Al(a+b)+c--a+(b+c)）（结合律）[4]0+a-a（对一切a),14) a+(-a)-0(对-切a).例1.3 设 a-(1, -2, 0)和 6-(0, 1, 1), 则a+6-(1, -1, 1), -a-(-1, 2, 0),b-a-(-1, 3,1),[al-/5例1.4对任意的a和b，运用[A]至[A]得a+(b-a)-a+(b+(-a))=a+(-a)+b-0+b-b,于是，向量方程a十=b有一解α一b一a，这个解也是唯一的，因为如果α+=b，则(-a)+a+y=(-a)+b-b-a,:即o+y-b-a，即u-b-a.已知E?的两点P和Q（即两个向量P和Q），以记号PQ表示它们的差Q-P，画出PQ，以箭头表示众P到Q，如图1-S.P到Q的距离就是长度PQI.显然，PQ--QPPQ=JQP，当且仅当Q-P=Q-P时PQ一P'Q.并且对一切P，有PP=0Td图1-3图1-4例1.6设a=PQ，6-QR和c-RS,d=SP，如图1-4,则Ea+b-PQ+QR-Q-P+R-Q-R-P-PRa+b+c-PR+RS-R-P+S-R-S-P-PS--da+b+c+d-P+SP-$-P+P--0.3.数乘向量若是实数，a=（，a，a3)是向量，我们定义积为向量ka(hai, haa, kas).显然，对切和a，有0a00在向量的研究中，我们通常把实数称为纯量或数量，积称为数乘向量。在间题1.4中，我们证明数乘向量满足[B]"hi(haa)-(hha)a-hihaa;[B](+)a一ha+a,(a+b)-ha+b(分配律);[Bs] 1a=a.最后，若a一（al,aa,cs)，则1hal（hai)+(ha)+(haa)VVa+-a