第三节空间曲线3、1空间曲线的密切平面P(to)r'(t.1、定义过空间曲线上P点的Q(to + △t)切线和P点邻近一点Q可作一平面，当O点沿曲线趋于P时-R平面的极限位置元称为曲线在P点的密切平面。对于c2类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面
3、1 空间曲线的密切平面 1、定义 过空间曲线上 P 点的 切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平 面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时， 平面 的极限位置 称为曲线 在 P 点的密切平面。 第三节 空 间 曲 线 O ( ) 0 P t ( ) 0 Q t + t ( ) 0 r t R 对于 类的曲线上任一正常点处的 密切平面是最贴近于曲线的切平面。 2 c
2、密切平面的方程给出 c2类的曲线（C）:r=r(t)P(to)ta有 PQ=r(to +t)-r(to)Q(to + △t)=r'(to)At +(r"(to) +=)△t?IR因为向量r(t.)和PQ都在平面上，所以它们的O线性组合 [PQ-(to)]="(to)+也在平面上。两边取极限得"(t)在极限平面上，即P点的密切平面上，因此只要r'(t)×"(t)≠0这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为(R-r(to),r(to),"(to))=0
2、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有 因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。 两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此 只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 2 C r r(t) = 2 2 0 1 0 0 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) r t t r t t PQ r t t r t = + + = + − ( ) 0 r t PQ − = + [ ( ) ] ( ) 0 0 2 2 PQ r t t r t t ( ) 0 r t ( ) ( ) 0 r t r t (R−r(t 0 ),r (t 0 ),r (t 0 )) = 0 O ( ) 0 P t ( ) 0 Q t + t ( ) 0 r t R
用R={X,Y,Z)表示P点的密切平面上任一点的向径，则上式表示为X - x(to)Y - y(to)Z-z(to)=0x(to)z(to)y'(to)z"(to)x"(to)y"(to)如果曲线用自然参数s表示，则将上式中的撇改成点。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。例题求园柱螺线上任一点的密切平面。Pαβ
用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为 如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 R ={X,Y,Z} 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = − − − x t y t z t x t y t z t X x t Y y t Z z t P 例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面
3、2空间曲线的基本三棱形dr1、给出 C2类曲线=(s)得一单位向量 α==称为曲ds（注意到=线（C）上P点的单位切向量。α称间为曲线在P点的主法向量,它垂直于单位切向量。称=α×β为曲线在P点的付法向量。量α，β,称为曲线在P点的伏雷内把两两正交的单位向量(Frenet)标架
1、给出 类曲线 得一单位向量 ，称为曲 线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到 ） 称 为曲线在 P 点的主法向量,它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的付法向量。 把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内 （Frenet)标架。 2 C r r(s) = ds dr r = = r r = = =1 ⊥ = , , 3、2 空间曲线的基本三棱形
2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。3、对于曲线（C)的一般参数表示 r =r(t),有V=+xa-('r)r"-(".r)r"xr"例题P34
2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法 平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成 的图形叫做曲线的基本三棱形。 r r(t), 3、对于曲线（C）的一般参数表示 = 有 r r r r r r r r r r r r r r r − = = = = ( ) ( ) , , 4、例题 P34