《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.3 曲面的第二基本形式

第三节曲面的第二基本形式3.1 曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点P邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用P点邻近的点O到P点的切平面的垂直距离来表示，这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状

第三节 曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面 积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面 在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有 必要知道在曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲， 往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用 P 点邻近的点 Q 到 P 点的切平面的垂直距离来表示， 这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在 第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全 决定的曲面的形状

二、曲面的第二基本形式给定类C2的曲面S:r =r(u,v),(u,v)eG,PeS.曲线(c） ： u=u(s),v=v(s)或 r=r(u(s),v(s)=r(s)是曲面上过P的一曲线，PW为P邻近一点，它们的向径32-11分别为 r(s),r(s +△s)Ppi= r(s$+ As)-(s)= As+(+E)(As)2,lim = 02As-0设n为曲面在P点的单位法向量，由P'作切平面元的垂足为Q为从切平面到曲面S的有向距离，则QP'=n。所以有 S=Qpi.n=(QP+PP).n=Ppi.n(n.+n.)(As)=[r(s+△s)-r(s)]·n =2

二、曲面的第二基本形式 给定类 的曲面S： 曲线（c）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线， 为 P 邻近一点，它们的向径 分别为 2 C r = r(u,v),(u,v)G, PS.   r r(u(s), v(s)) r(s)    = = P r(s),r(s + s)   ( )( ) , lim 0. 2 1 ( ) ( ) 0 2           = +  − =  + +  =  →   s PP r s s r s r s r s 设 为曲面在P 点的单位法向量，由 作切平面 的垂足为Q， 为从切平面到曲面 S 的有向距离，则 。 所以有 n  P   QP n   = 2 ( )( ) 2 1 [ ( ) ( )] ( ) r s s r s n n r n s QP n QP PP n PP n = +  −  =  +   =  = +   =              

当0时，的主要部分是(As)=nds222=ru+ri由于#=rmi +2rnin+ri +ru+r,n.rds? = n.rmdu? +2n.rududv+n.ri.dv?所以I = n.rds? = n.dr = Ldu? +2Mdudv + Ndy?它称为曲面的第二基本形式,它的L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负

当 nr  0 时， 的主要部分是     2 2 2 1 ( ) 2 1 n r s n rds         =  由于 r r u r v u v       = + r r u r uv r v r u r v uu uv vv u v             = + + + + 2 2 2 所以 2 2 2 n rds n r du 2n r dudv n r dv u u u v vv           =  +  +  2 2 2 2 = nrds = nd r = Ldu + 2Mdudv + Ndv      Ⅱ 它称为曲面的第二基本形式,它的 L 、M、N系数称为曲面 的第二类基本量 。 上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距 离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻 划了曲面在空间中的弯曲性。 注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向 法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负

三、第二类基本量的计算Fxr,(ru,ru,r)1、L=r..n=ruuuu[uxr,]VEG-F2(m,r,r)(rw,ru,r)N=ri.n=.M=r..n=VEG-F2VEG- F22、对 n·dr=0 进行微分得dn.dr+n.dr=0 , .. n.dr=-dn.dr = II又,在切平面上,所以·n=O,·n=O,微分有ru-n+rn,=0L=ru.n=-r.nrn+r.n,=0M=rm-n=-rn, =-r,·n,0N=rw.n=-r.nrwn+r.n,=0

三、第二类基本量的计算 2 ( , , ) EG F r r r r r r r L r n r uu u v u v u v uu uu − =   =  =            , ( , , ) 2 EG F r r r M r n uv u v uv − =  =      2 ( , , ) EG F r r r N r n vv u v vv − =  =      1、 2、对 ndr = 0 进行微分得   dndr + nd r =  nd r = −dndr =    2   2    0 , Ⅱ 又ru ,rv在切平面上,所以 ru n = 0,rv n = 0,微分有       ruu n + ru nu = 0     ruv n + ru nv = 0     rvu n + rv nu = 0     rvv n + rv nv = 0     uu u nu L r n r     =  = −  uv u v v nu M r n r n r       =  = −  = −  vv v nv N r n r     =  = − 

3、对于显函数 z=z(x,) 表示的曲面有 =(x,y,z(x,y)r, =(1,0,zx}={1,0, p), r, =[0,1, z,) =[0,1,q)r = {0,0,zx} ={0,0,r) ,r, = (0,0, zx, = [0,0, 2 x} = rx = {0,0, s), = (0,0, 2 m) = [0,0,t)I =(1 + p)dx? +2pqdxdy+(1 +q)dy1II =(rdx?+2sdxdy+tdy2)/1+p2+q例题1、2

3、对于显函数 z = z (x , y) 表示的曲面有 r ={x, y,z(x, y)}  {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } , {1,0, } {1,0, } , {0,1, } {0,1, } r z t r z z r s r z r r z p r z q yy yy xy xy yx yx xx xx x x y y = = = = = = = = = = = =       2 2 2 2  = (1+ p )dx + 2pqdxdy+ (1+ q )dy ( 2 ) 1 1 2 2 2 2 rdx sdxdy tdy p q + + + + Ⅱ = 例题1、2