第二节曲线的概念2、1 曲线的概念1、映射给出两个集合E，E，法则f，如果通过E中每个点（或元素）x，有E'中唯一的点x与之对应，则说f为从E到E的映射，x为象，x为原象。映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：E'中元素都有原象双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续2、曲线一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射f（拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段
第二节 曲线的概念 2、1 曲线的概念 2、曲线 一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连 续的在上的映射 f （拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。 1、映射 给出两个集合E ， ，法则f ，如果通过 E 中每个点 （或元 素）x ，有 中唯一的点 与之对应，则说 f 为从 E 到 的映射， 为象， x为原象。 一一映射（单射）：不同元素的象不同。 在上映射（满射）： 中元素都有原象。 双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。 E x E E x E
例书中的开园和园柱螺线7M3、曲线的参数方程x= x(t)坐标式y= y(t)a<t<b0yz = z(t)x向量式r(t) = x(t)e, + y(t)e2 + z(t)ex=acostte(0,π)例1、开园弧y=bsin tx =acost例2、园柱螺线y=asin t , -o0<t<+o0.z = bt或r(t)=(acost,asin t,bt) = acoste, +asin te, +bte
x y z o M ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t = = = 1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e = + + a t b y b t x a t sin cos = = t (0, ) z bt y a t t x a t = = − + = sin , . cos 1 2 3 r(t) {acost,asin t,bt} acoste asin te bte = = + + 3、曲线的参数方程 坐标式 向量式 例1、 开园弧 例2、园柱螺线 或 例书中的开园和园柱螺线
2、2曲线的正常点光滑曲线1、光滑曲线如果曲线的参数表示式 r(t)= x(t)é, + y(t)é, +z(t)e中的函数是k阶连续可微的函数，则把这曲线称为Ck类曲线。Cl类的曲线又称为光滑曲线。2、正常点曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若to为曲线的正常点，则r(to)≠0.由于 r(t) = x(t)e, + y(t)e, + z(t)é,r'(t) = x'(t)e + y'(t)é2 + z'(t)e,所以 (to)≠0 x(to),(to),z(to） 中至少有一个不为零
2、2 光滑曲线 曲线的正常点 k C 1 C 1、光滑曲线 如果曲线的参数表示式 中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这曲线称为 类 曲线。 类的曲线又称为光滑曲线。 1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e = + + ( ) 0. 0 r t 2、正常点 曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若 t0 为曲线的正常点，则 由于 所以 中至少有一个不为零 1 2 3 r (t) x (t)e y (t)e z (t)e = + + 1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e = + + ( ), ( ), ( ) 0 0 0 ( ) 0 x t y t z t 0 r t
3、正则曲线若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线由 r(to)≠0 ←x(to),y(to),z(to） 中至少有一个不为零不妨设x(t.）≠0，则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在 to邻近有连续可微的反函数 t= (x),代入 y=(t)z=z(t)，即得 y=β(x)，z=y(x)这是曲线的另一种表示方法例如园柱螺线r(t)={acost,asin t,bt)= r'(t)=f-asin t,acost,b由于b不为o，由z=bt得t=z/b，代入x=acost，y=asint得x=acos(z/b)y=asin(z/b) 。这是园柱螺线的另一种表示法
例如 园柱螺线 由于b不为0，由z=bt 得t=z/b，代入 x=acost , y=asint 得 x=acos(z/b) y=asin(z/b) 。 这是园柱螺线的另一种表示法。 r(t) ={a cost,asin t,bt} r (t) ={−asin t,a cost,b} 3、正则曲线 若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线。 x (t 0 ) 0 y =(x) , z =(x). 由 中至少有一个不为零 不妨设 , 则在曲线的正常点的充分小的邻域里， x= x (t) 在 t0 邻近有连续可微的反函数 t = t(x) , 代入 y = y(t), z = z(t) ，即得 这是曲线的另一种表示方法。 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 ( ) 0 x t y t z t 0 r t
2、3曲线的切线和法面Q(to + △t)切线割线的极限1.P(to)R切向量pr(to +△t) -r(to)r'(to)= lim PR = lim△t△t-→0△t-02.切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）20设切线上任一点的径矢为 P(X,Y,Z)则 -r(to) // r'(to) =p-r(to)=ar(to)设 r(to) ={x(to),y(to), z(to)) , r'(to) ={x'(to), y'(to),z'(to))则X-x(to) Y-y(to)_Z-z(to)x(to)z'(to)y(to)3、例求园柱螺线上一点处的切线
2、3 曲线的切线和法面 ( ) 0 Q t + t ( ) 0 P t R O 2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点） 设切线上任一点的径矢为 则 设 则 (X,Y,Z) ( )// ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 − r t r t − r t = r t ( ) { ( ), ( ), ( )} , 0 0 0 0 r t = x t y t z t ( ) { ( ), ( ), ( )} 0 0 0 0 r t = x t y t z t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t Z z t y t Y y t x t X x t − = − = − 3、例 求园柱螺线上一点处的切线。 t r t t r t r t PR t t + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 1、切线 割线的极限 切向量