第六节曲面上的测地线平面上的直线（1）任一点的切向量平行：：（2）曲率为0：（3）直线段是连接点与点之间的最短线段。曲面上的测地线相当于平面上的直线6.1曲面上曲线的测地曲率一、测地曲率的定义给定曲面S：=r(u,u2)，（c）是曲面上的一曲线：u=u~(s)在曲线上一点P有：#.n=kβ.n=cosO=,令n×α=ε，则n,α,ε是两两正交的单位向量且成右手系，n,β,,都在P点的法面上
第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。 6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义 给定曲面S： （c）是曲面上的一曲线： 在曲线上一点 P 有： 令 ，则 是两两正交的单位向量且成右手系， 都在 P 点的法面上。 ( , ), 1 2 r r u u = u u (s) = n n n r = = cos = n = n, , n, ,
定义：曲线（c）在P点的曲率向量=k在上的投影（即在S上P点的切平面上的投影）k.=.=kβ.称为曲线在P点的测地曲率。(C*)厅
定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 上的投影（即在 S上P点的切平面上的投影） 称为曲线在 P 点的测地曲率。 r = k 在 k = r = k g
二、性质命题1:k2=k+kz证明: k, =kβ.ε=kβ.(nxa)=k(β,n,a)=k(a,β,n)= k(αxβ).n= ky.nk.=kcos(90°±の)=±ksin 0于是k, +k =k? cos?+? sin?=k?注意：n,β,, 都在P点的法面上
二、性质 命题1： 2 2 2 g n k = k + k 证明： cos(90 ) sin ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 k k k k n k n k k k n k n k n g g = = = = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 k k k cos k sin k 于是 n + g = + = 注意： n, , , 都在 P 点的法面上
测地曲率的几何意义：曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（c）的曲率。证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是（c），（C）和(c）都是柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。取ε为柱面上P点的法向量，由于柱面垂(c)直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P8α的法向量ε应在切平面上，而（C）点的切C向量α也在切平面上，所以柱面在P的法截面就是切向量α与法向量ε所确定的平面，法截面与柱面的交线就是法截线(c*），因此柱面在α方向的法曲率k,=±k*,|k,|=k*(k*为(c")在P点的曲率),由于K，=kcosθ，其中k为（C）在P点的曲率，θ为（C）的主法向量和柱面在P点的法向量之间的角，即K,=kcoso=kβ.=k.g
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c * ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 ( ) * ( ) c * c 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P 的法向量 应在切平面上，而（C）点的切 向量 也在切平面上，所以柱面在P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面， cos . n g = k = k = k 法截面与柱面的交线就是法截线 ，因此柱面在 方向的法 曲率 由于 ，其中k为（C）在P点的曲率， 为（C）的主 法向量和柱面在P点的法向量 之间的角，即 ( ) * c , ( ( ) ), kn = k * kn = k * k * 为 c * 在P点的曲率 n = k cos ( ) * c (c)
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还是直线，所以曲率为0。习题3
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。 习题3