3、单参数曲面族的包络给出一个单参数曲面族 {S}:F(x,y,z,α)=0(1)对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶连续偏导数。（1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1）中的一个曲面 Sα上的点，而且在S与 S的公共点它们有相同的切平面;反过来，对于族中的每一曲面S。，在曲面S上有一点P，使S和S在P有相同的切平面，则称S为单参数平面族{S的包络。（2）包络面的方程现在假定曲面族S的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数α来确定，所以包络面S上每一点对应于α的一个确定的值，因此α为S上点的坐标的函数，即 α=α(x,y,z）代入（1）得
3、单参数曲面族的包络 给出一个单参数曲面族 .（1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 上的点，而且在S与 的公共点它们有相同的切平面； 反过来，对于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一点P ，使 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数平面族 的包络。 {S }: F(x, y,z,) = 0 S S S { } S S （2）包络面的方程 现在假定曲面族{ }的包络S存在，由上面的定义，S上任意点 P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所 以包络面S上每一点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点 的坐标的函数，即 代入（1）得 S =(x, y,z)
F(x, y,z,α(x, y,z) = 0(2)对于S上的点，上式恒成立。其次，在包络面S上任取一条曲线(c):r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))因为（c）上的点的坐标满足方程，所以 F(x(t),y(t),z(t),α(t)=0dxdz+FddaAF0(3)对t求导得：dty dtdtdt在（c）上取一点，由于S和Sα在P有相同的切平面，所以（c）在P的切线与S在P的法线垂直，而切向量平行于dx dy dz法向量平行于(F,F,F)dt' dt'dtdxdzdaαF:0H+HOdtdtdtdtdα±0对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有dt否则 α=常数，因此 F=0，即F(x, y,z,α(x, y,z) = 0
F(x, y,z,(x, y,z)) = 0 .(2) 对于S上的点，上式恒成立。 其次，在包络面S上任取一条曲线 因为（c）上的点的坐标 满足方程，所以 对t 求导得： . （3） 在（c）上取一点，由于S和 在 P 有相同的切平面，所以（c） 在P的切线与 在P 的法线垂直，而切向量平行于 对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有 ， 否则 ，因此 ，即(c):r = r(t) ={x(t), y(t),z(t)} F(x(t), y(t),z(t),(t)) = 0 + + + = 0 dt d F dt dz F dt dy F dt dx Fx y z S S 0 0 , , , { , , } + + = = dt d F dt dz F dt dy F dt dx F F F F dt dz dt dy dt dx x y z x y z 法向量平行于 0 dt d = 常数 F = 0 F (x, y,z,(x, y,z)) = 0