定义5（广义函数） 2上的一个广义函数是一个连续线性泛函入：C(①)→C.这样 的广义函数空间记为D(2),被赋予弱*拓扑 定义6 如果对于任一实值试验函数f,λ()是实的，则称广义函数入是 实的. 每一广义函数入都可唯一地表示为Re()+m(),其中 Re(A),lm()均为实广义函数. 由D(Rn)上的拓扑我们知道，当对于任意f∈C(R), 入()→入()，则广义函数序列入n在广义函数的意义下收敛于极 限入 日++02元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 5 (广义函数) Ω 上的一个广义函数是一个连续线性泛函 λ : C∞ c (Ω) → C. 这样 的广义函数空间记为 D′ (Ω), 被赋予弱-* 拓扑. 定义 6 如果对于任一实值试验函数 f ，λ(f) 是实的，则称广义函数 λ 是 实的. 每一广义函数 λ 都可唯一地表示为 Re(λ) + iIm(λ)，其中 Re(λ), Im(λ) 均为实广义函数. 由 D′ (R n ) 上的拓扑我们知道，当对于任意 f ∈ C∞ c (R n )， λn(f) → λ(f)，则广义函数序列 λn 在广义函数的意义下收敛于极 限 λ. 窦芳芳 Sobolev 空间
当对每个紧集KCR”,存在k≥0和C>0使得对每个 f∈C(M都有 IA(l≤qlc (2) 该线性泛函入：C2(R)→C是一个广义函数. 例7 对于所有试验函数f通过记g)≌x)g(×dx可知，任一局 部可积函数g∈L%c(R")可视为一个广义函数. 例8 任一复Radon测度4可看成是一个广义函数。事实上，记 μ()≌x)d血，其中五是μ的复共轭（因此（目≌4（百）.如 Dirac测度δ在原点就是一个广义函数，因为对所有的实验函数 f6()=f0).特别地，C(Rn)和LP(Rn),(1≤p≤∞)都包含于 D(R). 0a0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 当对每个紧集 K ⊂ R n , 存在 k ≥ 0 和 C > 0 使得对每个 f ∈ C∞ c (K) 都有 |λ(f)| ≤ C||f||Ck(K) (2) 该线性泛函 λ : C∞ c (R n ) → C 是一个广义函数. 例 7 对于所有试验函数 f, 通过记 g(f) ≜ R Rn f(x)g(x) dx 可知，任一局 部可积函数 g ∈ L 1 loc(R n ) 可视为一个广义函数. 例 8 任一复 Radon 测度 µ 可看成是一个广义函数。事实上，记 µ(f) ≜ R Rn f(x) dµ, 其中 µ 是 µ 的复共轭 (因此 µ(E) ≜ µ(E)). 如 Dirac 测度 δ 在原点就是一个广义函数, 因为对所有的实验函数 f, δ(f) = f(0). 特别地, C∞ c (R n ) 和 L p (R n ),(1 ≤ p ≤ ∞) 都包含于 D′ (R n ). 窦芳芳 Sobolev 空间
定义9 如果对任意非负试验函数「，λ()都是非负的，则广义函数入称 为是非负的。 例10 设n=1.对所有试验函数f泛函：f→-f(0)是一个既不是局 部可积又不是Radon测度的广义函数. 例11(1/x的主值) 设n=1.通过 p.v.(lim f☒dk e0J>eX 定义的泛函p.v.1/x是一个广义函数，它既不是局部可积函数， 也不是Radon测度.（注意到1/x不是一个局部可积函数！） 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 9 如果对任意非负试验函数 f，λ(f) 都是非负的，则广义函数 λ 称 为是非负的。 例 10 设 n = 1. 对所有试验函数 f 泛函 δ ′ : f 7→ −f ′ (0) 是一个既不是局 部可积又不是 Radon 测度的广义函数. 例 11 (1/x 的主值) 设 n = 1. 通过 p.v. 1 x (f) ≜ lim ϵ→0 Z |x|>ϵ f(x) x dx 定义的泛函 p.v.1/x 是一个广义函数，它既不是局部可积函数， 也不是 Radon 测度. (注意到 1/x 不是一个局部可积函数!) 窦芳芳 Sobolev 空间
例12(1/八X是一个广义函数) 设n=1.对任意r>0,证明由公式 λ(0 x)-f0 <r d+ dx 定义的泛函入是一个广义函数，其既不是局部可积函数又不是 Radon测度.注意到任意这样两个泛函入，X,是不同的，它们之 差一定等于一个常数乘以Dirac delta广义函数， 由定义很容易知道，如果一个局部可积函数序列在L中收 敛到一个极限，则他们也在广义函数的意义下收敛 练习2.1 证明p,当r→0+时，在广义函数的意义下收敛于Dirac广义函 数6. 日+40,424元克月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 例 12 (1/|x| 是一个广义函数) 设 n = 1. 对任意 r > 0, 证明由公式 λr(f) Z |x|<r f(x) − f(0) |x| dx + Z |x|≥r f(x) |x| dx 定义的泛函 λr 是一个广义函数，其既不是局部可积函数又不是 Radon 测度. 注意到任意这样两个泛函 λr , λr ′ 是不同的，它们之 差一定等于一个常数乘以 Dirac delta 广义函数. 由定义很容易知道，如果一个局部可积函数序列在 L 1 loc 中收 敛到一个极限，则他们也在广义函数的意义下收敛. 练习 2.1 证明 φr 当 r → 0 + 时，在广义函数的意义下收敛于 Dirac 广义函 数 δ . 窦芳芳 Sobolev 空间
对所有试验函数f,定义乘积h入是一个有光滑函数的广义 函数： hA(0三A(0. 令n=1.则对任意光滑函数f和试验函数g, g6(f)≌6(B)=f0)g0). 特别地，记x为恒等函数x→x,有 xd=0. 口卡4024元电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对所有试验函数 f，定义乘积 hλ 是一个有光滑函数的广义 函数: hλ(f) △ = λ(hf). 令 n = 1. 则对任意光滑函数 f 和试验函数 g， gδ(f) ≜ δ(f¯g) = f(0)¯g(0). 特别地, 记 x 为恒等函数 x 7→ x，有 xδ = 0. 窦芳芳 Sobolev 空间