令f∈L(2),其中2在Rn中为开集，假设f的支集满足 supp(fCC2.则从supp(f)到2的距离是一个正数6.对f 在的补集上做零延拓，将延拓的L1(R”)新函数也记为f对 每个ε>0定义光滑函数 E(x)= fx-y)pεy)dy, x∈Rn. (1) 引理1 对每个e>0,supp(f)Csupp()+{y∈Rn:M≤e}且 fE∈Ce(R) 引理2 如果f∈Co(2),则fE→f在2上是一致的.如果f∈LP(), 1≤p<o,则lll@,≤‖la且→finL(2). 1日11回21元，克0只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 令 f ∈ L 1 (Ω), 其中 Ω 在 R n 中为开集, 假设 f 的支集满足 supp (f) ⊂⊂ Ω. 则从 supp (f) 到 ∂Ω 的距离是一个正数 δ. 对 f 在 Ω 的补集上做零延拓，将延拓的 L 1 (R n ) 新函数也记为 f. 对 每个 ε > 0 定义光滑函数 fε(x) = Z Rn f(x − y)φε(y) dy , x ∈ R n . (1) 引理 1 对每个 ε > 0, supp (fε) ⊂ supp (f) + {y ∈ R n : |y| ≤ ε} 且 fε ∈ C∞ c (R n ). 引理 2 如果 f ∈ C0(Ω), 则 fε → f 在 Ω 上是一致的. 如果 f ∈ L p (Ω), 1 ≤ p < ∞, 则 ||fε||Lp(Ω) ≤ ||f||Lp(Ω) 且 fε → f in Lp (Ω). 窦芳芳 Sobolev 空间
定理3 C(2)在LP(2)中稠密 如果f∈C(R),g:Rn→R绝对可积且有紧支集，则卷积 f*g∈Ce(R) 性质1.1 (C∞Urysohn引理)设K是Rn的一个紧子集，令U为K的一个 开邻域.则存在一个支集在U中函数f:C(R),且在K中等 于1. 日+021元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理 3 C∞ c (Ω) 在 L p (Ω) 中稠密. 如果 f ∈ C∞ c (R n )，g : R n → R 绝对可积且有紧支集, 则卷积 f ∗ g ∈ C∞ c (R n ). 性质 1.1 (C∞ Urysohn 引理) 设 K 是 R n 的一个紧子集, 令 U 为 K 的一个 开邻域. 则存在一个支集在 U 中函数 f : C∞ c (R n )，且在 K 中等 于 1. 窦芳芳 Sobolev 空间
定义4 设{f}21是C(2)中的一个序列，令f是C(2)中的另一个 函数.称{f21在C(2)的拓扑下收敛于f当且仅当存在一个 紧集K使得fn,f的支集都在K中，且fn在光滑拓扑C©()下 收敛于f 性质1.2 设K是一个紧集.X是一个赋范向量空间，线性映射 T:C©(K)→X连续，当且仅当存在k≥0，C>0使得 I‖Tx≤qlck(N对所有f∈Ce(K闪成立. 性质1.3 设K,K为紧集.线性映射T:C2(K)→C(K)连续，当且仅 当对每个k≥0都存在K>0和常数Ck>0使得对所有 f∈C()都有‖Tfck≤Ckfo 克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 4 设 {fk}∞ k=1 是 C∞ c (Ω) 中的一个序列, 令 f 是 C∞ c (Ω) 中的另一个 函数. 称 {fk}∞ k=1 在 C∞ c (Ω) 的拓扑下收敛于 f 当且仅当存在一个 紧集 K 使得 fn, f 的支集都在 K 中, 且 fn 在光滑拓扑 C∞(K) 下 收敛于 f. 性质 1.2 设 K 是一个紧集. X 是一个赋范向量空间，线性映射 T : C∞ c (K) → X 连续，当且仅当存在 k ≥ 0，C > 0 使得 ||Tf||X ≤ C||f||Ck(K) 对所有 f ∈ C∞ c (K) 成立. 性质 1.3 设 K,K ′ 为紧集. 线性映射 T : C∞ c (K) → C∞ c (K ′ ) 连续，当且仅 当对每个 k ≥ 0 都存在 k ′ ≥ 0 和常数 Ck > 0 使得对所有 f ∈ C∞ c (K) 都有 ||Tf||Ck ≤ Ck||f||Ck ′ . 窦芳芳 Sobolev 空间
性质1.4 对每个0<p≤∞，从C(2)到LP(①)的单射连续 性质1.5 映射T:C(2)→C()连续当且仅当对每个紧集KCR",存 在紧集K使得T连续映射C()到C(K) 性质1.6 每个有光滑系数的线性微分算子是C(2)上的连续算子 性质1.7 任一绝对可积、紧支的函数都是C(R”)上的连续算子 日卡4021元月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 性质 1.4 对每个 0 < p ≤ ∞，从 C∞ c (Ω) 到 L p (Ω) 的单射连续. 性质 1.5 映射 T : C∞ c (Ω) → C∞ c (Ω) 连续当且仅当对每个紧集 K ⊂ R n，存 在紧集 K ′ 使得 T 连续映射 C∞ c (K) 到 C∞ c (K ′ ). 性质 1.6 每个有光滑系数的线性微分算子是 C∞ c (Ω) 上的连续算子. 性质 1.7 任一绝对可积、紧支的函数都是 C∞ c (R n ) 上的连续算子. 窦芳芳 Sobolev 空间
Contents 。2.1具紧支集的光滑函数 。2.2广义函数 。2.3缓增分布及Fourier变换 日+021元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contents 2.1 具紧支集的光滑函数 2.2 广义函数 2.3 缓增分布及 Fourier 变换 窦芳芳 Sobolev 空间