定义13 对所有f广义函数入称为支集在闭集K上，如果(0=0在K 的一个开邻域内变为零.所有这样的支集K的交集，称为广义函 数的支集，记为supp(A) 注2.1 在定义13冲，值得注意的是，f在K的一个邻域内变为零而不是 在K本身上.例如，在一维情形下，设试验函数f使得0)=0 及f(0)≠0.则'(f)≠0. Dirac delta函数及其所有导数的支集都是{O} 日+024元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 13 对所有 f, 广义函数 λ 称为支集在闭集 K 上，如果 λ(f) = 0 在 K 的一个开邻域内变为零. 所有这样的支集 K 的交集, 称为广义函 数的支集, 记为 supp(λ). 注 2.1 在定义 13中, 值得注意的是，f 在 K 的一个邻域内变为零而不是 在 K 本身上. 例如，在一维情形下，设试验函数 f 使得 f(0) = 0 及 f ′ (0) 6= 0. 则 δ ′ (f) 6= 0. Dirac delta 函数及其所有导数的支集都是 {0}. 窦芳芳 Sobolev 空间
性质2.1 每个广义函数在弱-*拓扑下都是一列紧支广义函数的极限， 证明.设入∈D(R".设{an}e1CC(R)是-个函数列， 其元素都满足an(x)=1,X≤n及an(x)=0,×≥n+1.设 入n=an入.则对于任意f∈C2(R). lim入n(f0=λ(f0 口 日++02元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 性质 2.1 每个广义函数在弱-* 拓扑下都是一列紧支广义函数的极限. 证明. 设 λ ∈ D(R n ). 设 {αn}∞ n=1 ⊂ C∞ c (R n ) 是一个函数列， 其元素都满足 αn(x) = 1, |x| ≤ n 及 αn(x) = 0, |x| ≥ n + 1. 设 λn = αnλ. 则对于任意 f ∈ C∞ c (R n ), limn→∞ λn(f) = λ(f). 窦芳芳 Sobolev 空间
对所有f定义广义函数与具紧支集的绝对可积函数的卷积 h*入为 h*(0兰A(f*h, (3) 其中(x)会h(-x.通过该定义给的卷积是一个广义函数h*入， 且与通常的函数卷积概念相容。 例14 对于所有的试验函数f有f*6=f一维情形下，有f*6=f,因 此微分可以看成是与某一广义函数的卷积 1口回171元电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对所有 f, 定义广义函数与具紧支集的绝对可积函数的卷积 h ∗ λ 为 h ∗ λ(f) △ = λ(f ∗ ˜h), (3) 其中 ˜h(x) △ = h(−x). 通过该定义给的卷积是一个广义函数 h ∗ λ， 且与通常的函数卷积概念相容. 例 14 对于所有的试验函数 f 有 f ∗ δ = f. 一维情形下，有 f ∗ δ ′ = f ′ , 因 此微分可以看成是与某一广义函数的卷积. 窦芳芳 Sobolev 空间
引理15 设入∈D(Rn)是一个广义函数，令h∈C(R)是一个试验函数 则h*入等于一个光滑函数 引理16 每一广义函数都是一列试验函数的极限.特别的，C(R”)在 D(R)中稠密 日+021元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 引理 15 设 λ ∈ D(Rn) 是一个广义函数, 令 h ∈ C∞ c (R n ) 是一个试验函数. 则 h ∗ λ 等于一个光滑函数. 引理 16 每一广义函数都是一列试验函数的极限. 特别的, C∞ c (R n ) 在 D(R n ) 中稠密. 窦芳芳 Sobolev 空间
下面介绍广义函数的微分.由分部积分可知，对任意试验函 数fg,j=1,…,n 因此， 可定义广义函数入的偏导数忌入为 品0会-（品） 偏导数也是一个广义函数，且微分算子在广义函数上连续 对于任意具光滑系数的线性微分算子P,可通过公式 PA()三A(P) 定义广义函数入的P入. 4口卡4021元电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 下面介绍广义函数的微分. 由分部积分可知，对任意试验函 数 f, g，j = 1, · · · , n D f, ∂ ∂xj g E = − D ∂ ∂xj f, g E . 因此，可定义广义函数 λ 的偏导数 ∂ ∂xj λ 为 ∂ ∂xj λ(f) △ = −λ ∂ ∂xj f . 偏导数也是一个广义函数，且微分算子在广义函数上连续. 对于任意具光滑系数的线性微分算子 P, 可通过公式 Pλ(f) △ = λ(P ∗ f) 定义广义函数 λ 的 Pλ. 窦芳芳 Sobolev 空间