523复合求积方法 Composite Quadrature 高阶插值多项式有产生严重震荡的可能 故采取用低阶复合的方法 P,(x) (x) Plx b 图57低阶复合公式示意 将[a,b分为n等分 h,或n b h 在n个区间内都用P(x)求积,即梯形法 则构成复合梯形求积方法 浙江大学研究生 <<实用数值计算方法> 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 <<实用数值计算方法>> 16 5.2.3 复合求积方法 Composite Quadrature 高阶插值多项式有产生严重震荡的可能 故采取用低阶复合的方法 P(x) 1 P (x) n f (x) P(x) 1 P(x) 1 P(x) 1 P(x) 1 0 a = x 1 x x b n = ( ) 则构成复合梯形求积方法 在 个区间内都用 求积，即梯形法 或 将 分为 等分 n P x h b a h n n b a a b n 1 , , − = = − 图 5.7 低阶复合公式示意
/=(xk h=x1-x-1 f(x) h23 x)+2/(x)+…÷12 ∑/[n] x)+f(x.)+ =-bnyG)=-bb=)y)=-m 12 12 12n =-2)=-O 对于复合 Simpson公式 U/=3(x)+4(2)+2∑/(2)+(x Q2).ny() 28802 U2=-O) 浙江大学研究生 <<实用数值计算方法> 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 <<实用数值计算方法>> 17 5.2.3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 3 1 2 1 3 1 0 1 2 3 0 1 1 12 12 12 2 12 12 2 2 1 1 0 n f n b a f h h b a n f h U f nf h f x f x h f x h f h f x f x f x h f x dx f x dx I f f x dx h x x n n i n i n i n i x x x x i i b a n n = − − = − = − − − = − + + − = + + + − = + + = = − − = = − − ( ) = − = − 2 2 1 1 n U f O h O n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − − = + + + − = = − 4 2 4 2 4 5 2 1 1 2 / 2 1 0 2 1 1 2880 2 2 4 2 3 n U f O h O f h n f x f x f x f x h I f Simpson n n i i n n i i 对于复合 公式
53控制精度的求积方法 531外推原则 Richardson's Extrapolation 复合梯形法求积的误差表示为 E B 设在] 用n个等间隔由P(x)求积得Tn 准确的积Ⅰ为未知,但 2nE2n-B/(2n)1 E B/n24 4-4T=-T T: Trapezoid S: Simpson 误差估计:E=I-S2n<S2n-T2n 浙江大学研究生 <<实用数值计算方法> 18 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 <<实用数值计算方法>> 18 5.3 控制精度的求积方法 5.3.1 外推原则 Richardson's Extrapolation 复合梯形法求积的误差表示为 ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n I S S T I T T S S Simpson I T I T T Trapezoid n n E E I T I T I n T n P x T a b n E 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 : 3 1 3 4 4 4 : 4 2 1 2 , = − − − = − − = − − = − − = − 误差估计： 准确的积 为未知，但 用 个等间隔由 求积得 设在
5.3.1 f Jf 根据梯形公式 图58 Richardson's外推 L+fI 12 fn+2/f+f6] 4 1三=12-=T x[G+2/+/-3-x 6 a[f0+4f+f]=S2 Simpson公式 若多次使用外推原则,可不断提高精度 Deferred Approach to the Limit 逐步加精步骤 浙江大学研究生 <<实用数值计算方法>> 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 <<实用数值计算方法>> 19 5.3.1 b f c f a f a x c x b x 逐步加精步骤 若多次使用外推原则，可不断提高精度 公式 根据梯形公式 Deferred Approach t o the Limit f f f S Simpson x x f f x x f f f x x I T T f f f x x T f f x x T a c b b a a b b a a c b b a a c b b a a b b a 2 2 1 2 1 4 6 6 2 3 3 1 3 4 2 4 2 + + = − = + − + + − − = − + + − = + − = 图 5.8 Richardson's 外推
5.3.1 依次类推由P(x)求积时 用n个等分间隔的误差E k=0 k=1 4n 由此可得到一般化的外推原则 X2(2m)=X(2m)+[x1(2m)-X{m) X3(4m)=X2(4m)+[X2(4m)-X2(2m) 15 X X k-1 X )=X(2km) X 或 X(2 X 浙江大学研究生 <<实用数值计算方法> 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 <<实用数值计算方法>> 20 5.3.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X ( m) X ( m) X ( m) X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m X m n n E n n E n n E P x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k n k k n n k 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 4 1 1 2 4 1 4 2 2 2 4 1 1 2 2 2 2 4 1 1 2 2 4 2 15 1 4 4 2 3 1 2 2 4 2 4 2 − + − + − − − − − − − − − − − = − − = + − − = + = + − = + − = − = − = − 或 由此可得到一般化的外推原则 用 个等分间隔的误差 依次类推 由 求积时 k = 0 k =1 k