《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）高等代数习题答案（共九章）

α,α",α",α"都为f(x)的根：f(x)+0,.f(x)不可能有无限个根，其中必有相等者：α=α(不妨设i>j)..α"(α"-"-1)=0,令n -n’=m则或α=0,或α是x”=的根P48、补11题：:f(x)[f(αx)=f(x)=a(x-b)": f(x)有n重根b补充P4812题：a,a,.a,的两两不同．F(x)=(x-a）(x-a,)..(x-a）证：(1)F(x)F(x)4- (x-a)(x-a)(x-a)...(x-a,)1::(x-a,)F(a,)-(a,-a)(a, -a--)(a, -a)(a, -a,)(f-a)F'(a)I,(a,)=0,, (a,)=1,.Z(a,)=1,j=1...Vi,Z,(x),i=1...ni=l为n-1次多项式,: 1,(x)=1,(2)设f(x)=F(x)g(x)+r(x),则f(a,)=r(a,),而n-1形式多项式又f(a,),(x)=h(x) : h(a,)= f(a )r=l=r(a,) :h(x)=r(x)p49、补13题：(1) 求F(x) α(f(x)<4且f(2)=3 (3)=-1 f(4)=0 (5)=24()=)--(-12x +47x-60)(2 -3)(2 - 4)(2 -5)6(n)=2)-4)-)-→-r+19x-20(3-2)(3-4)(3-5)2×24()--2)-3-)-→+5x*+x+152(4-2)(4-3)(4-5)24(n)=-2)-3)-4)-1++1D32″(5-2)(5-3)(5-4)62,3±17 ,2_ 203. f(x)=x +42((x)f(a)=3l -1, +0.l +214326i=l

2 3 , , , nn n ⇒αα α α "都为f(x)的根 . ∵ fx fx ( ) 0, ( ) ≠ ∴ 不可能有无限个根,其中必有相等者: ( ) i j n n α α= > 不妨设i j , 2 ( 1) 0, i j n nn i j α α nn m − ∴ −= − = 令 . 0, 1 m 则或 或 是 的根 α α = = x . P48、补 11 题： / () () () ( ) () n ∵ f x f x f x ax b f x ⇒ =−∴ 有n重根b . , n aa a " " a a a 补充P48 12题: 的两两不同. F(x)=(x- )(x- ) (x- ) 1 2 1 2 n 证：（1） 111 1 1 1 ( ) ( ) ( )( )( ) ( 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) n i i i i i i i i i i 1 2 i 1 ) n i n F x F x x a xa xa xa l f aFa x aFa a a a a a a a a − + = − + −− − − == = − −− ′ ′ − − ∑ " ∵ − i r a 1 1 1 1 ( ) 0, ( ) 1 ( ) 1, 1 . , ( ), 1 1 , ( ) 1,(2) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), 1 ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) () () n n ij i i j j i i i i n i i i n i i j j r j la l a l a j n i lx i n n l x f x F x q x r x f a n f a l x h x h a f a ra hx rx = = = = = = ∴ = ∀= ∀ = − ∴= = + = − = = = ∴= ∑ ∑ ∑ ∑ ， " " 为 次多项式 设 则 而 形式多项式 p49、补 13 题： （1）求 fx fx f f f f ( ) ( ( )) 4 (2) 3 (3) 1 (4) 0 (5) 2 ∂ < = =− = 且 = 3 2 1 ( 3)( 4)( 5) 1 ( ) ( 12 47 60) (2 3)(2 4)(2 5) 6 xxx l x x x x −−− = = − − + −−− − 3 2 2 ( 2)( 4)( 5) 1 11 ( ) 19 20 (3 2)(3 4)(3 5) 2 2 xxx l x x x x −−− = = − + −−− − 3 2 3 ( 2)( 3)( 5) 1 31 ( ) 5 15 (4 2)(4 3)(4 5) 2 2 xxx l x x x x −−− = = + + −−− + 3 2 4 ( 2)( 3)( 4) 1 3 13 ( ) 4 (5 2)(5 3)(5 4) 6 2 3 xxx l x x x x −−− = = + −−− + − 4 3 2 12 3 4 1 2 17 203 ( ) ( ( )) ( ) 3 0 2 42 32 6 i i i fx lx fa l l l l x x x = ∴ = = ∑ − + ⋅ + = −+ − +

=Sin元f(O)=sinO,fG，f（元）=sin元=0②求一个二次多项式f(x)，(x)=..",1 = (x-0)(r- n)(F-0)(号-元)2, =..x(x-元)..f(x):元4f(3)=10③(x)可能低次项:f(0)=1 f(I)=2f(2)=54()=x-2)=-+*-x+16(0-1)(0 -2)(0-3)6()=-0x-2)x-3)=r-5xx+3x(10)(1-2)(1-3) 2*2()=0)-2)--+2+3x2(2 -0)(2 -1)(2 -3)(x-0)(x-2)(x-3)_ 1 r3 _ - r2 +114(x)= ((3-0)(3-1)(3-2)"×2× 3.. f(x) =l(x)+2l(x)+ 5l,(x)+101.(x) = x2 +1P49.补14)，f(x)eZ[xl,f(0),f(1)奇,则f(x)无整数根证：反设f（x）有整数数根m，则x-mlf（x）矛盾！f(O)奇=-m奇f（1）奇=1-m奇第二章行列式习题解答P96.1①(134782695)=0+1+1+3+3+0+1+1=10:13478695偶排列②(217986354)=1+0+4+5+4+3+0+1=18：21798354偶排列③(98765432)=8+7+6+1+2+1=36..987654321偶排列P96.2若1274i56k9偶则i,k=3.8或8.3t(127435689)=5，t(127485639)=10..i=8,k=3

②求一个二次多项式f(x), (0) sin 0, ( ) sin , ( ) sin 0 2 2 ff f π π = = = π π = . 1 2 3 () , ( 0)( ) , ( 0)( ) 2 2 , l x x x l l π π π π = − − = − − = " " 2 2 ( ) () ( ) 2 4 n xx fx f l π π − ∴ = = − ③ f x( )可能低次项:f(0)=1 f f f (1) 2 (2) 5 (3) 10 = = = 3 2 1 ( 1)( 2)( 3) 1 11 ( ) 1 (0 1)(0 2)(0 3) 6 6 xx x l x x x x −− − = = − + −− − − + 3 2 ( 0)( 2)( 3) 1 5 ( ) 3 (1 0)(1 2)(1 3) 2 2 xxx l x x x x −−− = = −−− − + 3 2 3 ( 0)( 2)( 3) ( ) 2 3 (2 0)(2 1)(2 3) 2 xxx x l x x x −−− = = − + − −− + 3 2 4 ( 0)( 2)( 3) 1 1 1 ( ) (3 0)(3 1)(3 2) 6 2 3 xxx l x x x x −−− = = − − −− + 2 123 4 ∴ fx lx l x l x l x x ( ) ( ) 2 ( ) 5 ( ) 10 ( ) 1 = + + + =+ P49.补 14）， . fx x f f ( ) [ ], (0), (1) ∈] 奇,则f(x)无整数根 证:反设f(x)有整数数根m,则x-m|f(x), f(0)奇 -m奇 f(1)奇 1-m奇 矛盾! ⇒ ⇒ 第二章 行列式习题解答 P96.1 ①τ (134782695) 0 1 1 3 3 0 1 1 10 13478695 = +++ + + ++= ∴ 偶排列 ②τ (217986354) 1 0 4 5 4 3 0 1 18 21798354 =+ + ++ ++ += ∴ 偶排列 ③τ (98765432) 8 7 6 1 2 1 36 987654321 =+ ++ + += ∴ " 偶排列 P96.2①若 1274i56k9 偶则 i,k=3.8 或 8.3 τ (127435689)=5, τ (127485639)=10 ∴i=8，k=3

②若1i25j4897奇则i,k=3，6或6.3T (162534897)=7T(132564897)=4..i=6 k=3P96.3312435→21435-25431-25341即得2_ n(n-1)2P96.4 T (n(n-1), " 3 2 1)=CC为偶数，偶排列。：当4|n或4|n-1即n=4k或n=4k+1时，当n=4n+2，n=4n+3，则C㎡为奇数，是奇排列P96.5排列元：XiX2*X与元2:XnX--1X2X中，任取两个数xi，Xj若x，x在元，中有逆序，则在元2中没有，反之在元，中没有逆序，则元，中有逆序，（元）+T(元)=Cm即T (x-*x2x1)=Ch--T (xix*x.).P97.6.由于(234516)+(312645)=8.a234gi42+ag4,带正号由t(341562)+T(234165)=10:a2443i4asia6a2,带正号P96.7jijzj3j4由于j2=3，juj3j4取1、2、4的排列jjsj4=124= t(1324)= 1,jJ:J4 = t(1342)= 2; jJsJ4 = 214 = T(2314) = 2JjJ:J4 = 241= t(2341)= 3.jJJ4 =142 = t(1342)= 2; JJJ4 =214= t(2314)= 2JjJJ4=241= t(2341)=3,JJ:J4=412= t(4312)=5;JJJ4=421= t(4321)=6：取负号只有-123324,-2233441,142343142P9.() D (1)-2)13. (-n-1)/ (-1) /m-),2P97.8(2)D=(-1)(23.l)123..-n =(-1)"-.nlP97.8(3)=(-1)(-1) (-2-21)13. n=(1)n-1)(n-2) n2P97.9D=Z(-1)(ssis)ajibizcidjieishiaiais因后三行后三列为0，所以非零的项只有，≤2,j≤2,J≤2,而J，JJ是互不相

②若 1i25j4897 奇则 i,k=3，6 或 6.3 τ (132564897)=4 τ (162534897)=7 ∴i=6 k=3 P96.3 3 1 2 4 3 5 →2 1 4 3 5 →2 5 4 3 1 →2 5 3 4 1 即得 P96.4 ∵τ (n(n-1),. 3 2 1)=C 2 ( 1 2 n n n − ) = ∴当 4|n或 4|n-1 即n=4k或n=4k+1 时， 为偶数，偶排列。 2 Cn 当n=4n+2,n=4n+3,则C 为奇数，是奇排列 2 n P96.5 排列π 1:x1x2.xn与π 2:xnxn-1.x2x1中，任取两个数xi,xj 若xi,xj在π 1中有逆序，则在π 2中没有，反之在π 1中没有逆序，则π 2中有逆序，∴ τ (π 1)+ τ (π 2)=C 2 n 即τ (xnxn-1.x2x1)=C - 2 n τ (x1x2.xn). P97.6.由于 23 31 42 56 14 65 τ (234516) (312645) 8. + =+ τ aaa aaa 带正号 32 43 14 51 66 23 由 带 τ (341562) (234165) 10 +τ = ∴aaaaaa 正号 P96.7 j1j2j3j4由于j2=3，∴j1j3j4取 1、2、4 的排列 j1j3j4=124 134 134 134 134 134 134 134 134 11 23 32 44 12 23 (1324) 1, (1342) 2; 214 (2314) 2 241 (2341) 3. 142 (1342) 2; 214 (2314) 2 241 (2341) 3, 412 (4312) 5; 421 (4321) 6 , jjj jjj jjj jjj jjj jjj jjj jjj aaaa aaa τ τ τ τ τ τ τ ⇒ = ⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = τ τ ∴取负号只有− − 34 41 14 23 31 42 1 , ( 1) 97.8(1) ( 1) 123 ( 1) ( 1) 2 97.8(2) ( 1 123 ( 1) . 1 ( 1)( 2) 97.8(3) ( 1) 123 ( 1) . 2 n a aaaa n n P D nn n PD n n n n P D n n τ τ τ − − − = − − =− = − = − − − = − = − " " " " i " " （n 321） （23 n1） （（n-1）（n-2） 21n） ） 12345 12345 ( ) 123 45 97.9 ( 1) jj jj j jj jj j P D = − ∑ aj bj cj dj ej 因后三行后三列为 0，所以非零的项只有， 345 jjj ≤ 2, 2, 2 ≤ ≤ ,而 345 j , , j j 是互不相

同的数，这是不可能的，所以没有非0的项，D=02xx121x132x。 f(x)=11×求x，x的系数P97.10解：行列式中每项由每行出一元相乘，故x必须将2.3.4行的x都取，这时第i行取第i列，这是行列式的一项，ax，系数为a=2。x项必有一元ai在对角线外，于是i行，j列的x不能再取了，故当i=1，j>2时，至少去掉3个x不含x项了，对于i>2，j=2同理其它情形，至少去掉两个x且第一行（或第二列）的两个x只能取一个，故不含x项，只剩下i=1，j=2时，a12本身是x项为(-1)(213)ai2a21a3a4=-x1xx=-x,系数为-1P97.11 d= Z (-1)(ii).1=0故中+1与-1一样多，即+号，-号一样多，hih-j.也即奇偶排列一样多，.n≥2时，奇偶排列各占一半x2/1x...xn-1a?.aa'=Vx"-+.(按第一行展开）p(x)=a- d- .. aP98.12@aa2,an两两不同.Vn-0即a(p(x))=n-1：p(a）=p(a2）=.….=p(aa-)=0（总有两行相同)最多n-1个根，②即p(x)的所有根为aj,az,an-xxx+yV3(2(x+)lP98.13②Jx2(x+y)x+y2(x+y)2(x+y) 2(x+y)xx+y-xo-yy2x2(x+y)y-xyx+y1111= 2(x+ y)[-y +xy-x"]= -2(x + y3)

同的数,这是不可能的,所以没有非 0 的项,D=0 P97.10 f(x)= 2 1 1 1 32 1 1 11 x x x x 2 1 x − 求x4 ，x3 的系数 解：∵行列式中每项由每行出一元相乘，故x4 必须将 2.3.4 行的x都取，这时第i行取第 i列，这是行列式的一项，ax4 ，系数为a=2。 x 3 项必有一元aij在对角线外，于是i行，j列的x不能再取了，故当i=1,j>2 时，至少去掉 3 个x,不含x3 项了，对于i>2,j=2 同理 其它情形，至少去掉两个x且第一行（或第二列）的两个x只能取一个，故不含x3 项，只 剩下i=1,j=2 时，a12本身是x项为 (-1)(2134) a12a21a33a44=-x1xx=-x3 ,系数为-1 1 2 1 2 (, ) P97.11 ( 1) 1 0 1 1 , n n jj j jj j d τ = − = +− + ∴ ≥ ∑ ∑ " " i 故 中 与 一样多 即 号,-号一样多, 也即奇偶排列一样多, n 2时,奇偶排列各占一半. P98.12① 2 1 2 1 11 1 1 2 1 11 1 1 1 ( ) ( ) 1 n n n n nn n xx x aa a p x V x aa a − − − − −− − = = + " " " "" " "" " 按第一行展开 12 1 1 , 0 ( n n aa a V p x n ∵ " − − 两两不同 即 ∴ ≠ ∂ =− ( )) 1 ② 12 1 12 1 ( ) ( ) ( ) 0( ) 1 , n n pa pa pa n aa a − − ∵ " = == = − " 总有两行相同 最多 个根, 即p(x)的所有根为 1 1 (1) 3 2 (1) 3 3(2( )) 3( ) 1 3( ) 2 2 2 33 98.13 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 0 2( ) 0 11 1 1 11 2( )[ ] 2( ) x y x y x x x xy P y x y x xy xy xy x y xy y x yxy x x yy x y x y y xy x x y − × + × + + −− + − + + + x + y +++ + − − + + − = + − + − =− + YZZZZ ZZZZX YZZZZZ ZZZZZZXZ YZZZZZ ZZZZZZXZ ②

4P2.23.3,4(例)(3 + (4 1)-1)(31)4-l = 6.23 = 48P48.133一1P98.13④（法）32341412323-4472410-211223-1-7070=1604432-1-80-4 010-10000-7-13043600404123-1000法二：102323124/143423X1-31103401011-30012=10=20202-20422010:100023-10[1010-1-100-112340200=(-20)=16001000-4法三：f(x)=1+2x+3x2+4x8,62,66为4次单位根±1,±令8 =1,62 =-1,8, =i,8 =-i,则行列式d=(-1)ci-f(1)f(-1)f(i)f(-i)=(-1).10-(-2)(-2 - 2i)-(-2 + 2i) = 20[(-2) -(2i)21=160令1111111[1+x111111+x 100-1 x0011-x111x11=xy10000111+y1111+y-1 000yo11101111-1-1000P98.13解：

2.23.3.4( ) 41 3 3111 1311 48.13 (3 (4 1) 1)(3 1) 6.2 48 1131 1113 P P − YZZZZZZ ZZZZZZZXZ + −⋅ − = = 例 ③ P98.13④（法一）: 1 234 1 2 3 4 1 23 4 1 234 23 41 0 1 2 7 01 2 7 01 27 160 3 4 1 2 0 1 8 10 0 0 4 4 0 0 4 4 4 1 2 3 0 7 10 13 0 0 4 36 0 0 0 40 −− − = = − = −− − − − −− − = 法二： 10 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 10 3 4 7 0 1 1 3 0 1 1 3 0 2 0 0 10 20 20 10 4 1 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 0 1 3 10 1 2 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 234 0200 ( 20) 160 001 3 000 4 − − == = = − − − −−− −−− −− = − = − − 法三： 令 2 4 1 2 3 1234 12 34 3 2 ( ) 1 2 3 4 , , , 4 1, 1, 1, , , ( 1) (1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) 10 ( 2) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 20[( 2) (2 ) ] 160 c 2 f x xx x i i i d f f fif i ii i εεεε εε εε − =+ + + ± ± = =− = =− =− − − =− − −− −+ = − − = ii i i 为 次单位根 令 则 行列式 P98.13⑤解： 2 2 11 1 1 1 1 11 11 1 111 01 1 1 1 1 0 0 0 11 1 1 01 1 1 1 10 0 0 1 11 1 01 1 1 1 100 0 1 1 11 01 1 1 1 100 0 x x x x x x x y y y y y y y + + − − = = − −− + + − − −− − =