:.(f,f)=(f,:(f,x)=1)(f,x")=1=f(x)无重因式n!P46,211x-~ f(x)-f"(x)=g' (x)=2 [f" (x)+f" (a)+ 2g (a)=0又g(a)=0g(x)="(x)+"(x)+"(x)-"(x)-(x-a)"(x)=g(a)=02F"(x)+=~ y()xg" (x)=.a是g(x),g(x),g"(x),g"(x)根，且使g"(x)的k+1重根：.a是g(x)的k+3重根P46, 22“”必要性显然（见定理6推论1）“”若xo是f(x)的t重根，t>k，由定理→ f(k)(xo)=0若t<k=(-()0，所以矛盾P46.23例如F(x)=x"+,则x=0是f(x)=(m+1)x"的m重根但x=0不是f(x)的根P46.24若(x-1)f(x)"则(x"-1)If(x")证若f(x)=(x-1)g(x)+r(由上节课命题2)f(x")=(x"-1)g(x")+r=g(x)+r=r=0所以x"-11(x")P46,25证明设x?+x+1的两个根61,62,6=1x+x+1=(x-6,)(x-8))[f())+8f())= 0(f(e)+82f(c))=0
( ', ) ( , )! y x ff f n ∴ = ∵( , ) 1) f x = ( , ) 1 () n fx fx = ⇒ 无重因式. P46，21 g′(x)= 1 2 [ f′(x)+ f′(a)]+ () () 2 x a fx fx − ′′ ′ − ⇒ g′(a)=0 又 g(a)=0 1 1 1 // () () () () () ( ) () () 0 22 2 2 x a g x f x f x f x f x x af x g a − ′′ ′′′ ′′ = + + − =− ⇒ ′′′ ′′ ′′ = /// (4) / // /// 1 () () 2 2 ( ), ( ), ( ), ( ) x a gx fx fx a xgxg xg x − = + ′′′ ∴ ∴ 是g 根,且使g (x)的k+1重根 // a是g(x)的k+3重根. P46，22 “⇐”必要性显然（见定理 6 推论 1） “⇒”若x0是f(x)的t重根，t＞k， 由定理⇒f (k)( x0)=0 若t＜k⇒ ( 1) 0 ()0 k f x − ≠ ，所以矛盾. P46.23 例如 1 ( ) , 0 ( ) ( 1) m m fx x x f x m x m + = = =+ 则 是 的重 ′ 根 根 ) 但 不是 的 x fx = 0 () . P46.24 若( 1) ( ) ( 1) | ( nn n x − − fx x fx 则 证若 f x x gx r ( ) ( 1) ( ) ( =− + 由上节课命题2) ( ) ( 1) ( ) ( ) 0 nn n f x x gx r gx r r = − += +⇒= 所以 )(|1 n n − xfx P46,25 证明 设x 2 +x+1 的两个根 3 1 2 , 1 i εεε = 2 1 2 3 3 1 1 12 1 3 3 2 2 22 2 1 ( )( ) () ()0 () ()0 xx x x f f f f ε ε ε εε εεε + += − − ⎪⎧ + = ∴⎨ ⎪⎩ + =
[f(I)+8f(I)= 0即力Ui(1)+82(I) = 0= f()=0 f(1)=0=(x-1)l f(x), f2(x)P46、26分解x"-1.2k元2k元设=1=cos-,k=0.12...,n-1+isinnn2k元2k元(i)在C中,x"-1=(x-8)=(x--)(x-(cos+isinnni=0k=l(i)在R中,n为奇 x"-1=(x-1)(x-8)=(x-1)1(x-8)(x-8m-k)k=2k元=(x-1)(x2 - 2 cosn=2m-1x+1)nk=l2k元当n=2m时：x-1=(x-1(x+1)(x2-2cosx+1)nk=lp46,27求有理根：(1) x2-6x2+15x-14=f(x)解：有理根可能为土1、土2、土7、土14。：当a<0时f（a）<0，所以f(x)的有理根是可能1,2,7,14f(1)=-4 ≠0,f(2)=0,f(7)=140 寸0,f(14)=1764 ≠0,只有一个x=2(2) 4x-7x2-5x-1=f(x).11解：有理根可能为±1、±2、±4，：f{(1)--9≠0，f(-1)-1≠0,11！43111f( 2 )-5,f(- 2 )-0,f( 4 )=-2 64 ,f(- 4 )-- 641所以f(x)只有一个有理根x=.2(3) f(x)=x°+x*-6x-14x2-11x-3=f(x).解：可能有有理根为±1、±3、f(1)=-32,f(-1)=0,f(3)=0f(-3)=-96故f(x)有两个有理想-1,3P46,28
1 12 1 22 (1) (1) 0 (1) (1) 0 f f f f ε ε ⎧ + = ⎨ ⎩ + = 即 2 1 ⇒= = f f (1) 0 (1) 0 1 2 ⇒ − ( 1) ( ), ( x fx fx) . P46、26 分解 1. n x − 0 2 2 1 cos sin , 0,1, 2 , k k k i k n n n 1 π π 设ε ε == + = " − 1 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) , 1 ( ) ( 1) ( (cos sin )) ( ) , 1 ( 1) ( ) ( 1) ( )( ) 2 2 1 ( 1) ( 2cos 1) 2 2 : 1 ( 1)( 1) ( 2cos 1) n n n i i k m m n k k k k m k m n k k k ix xxx i n n ii n x x x x x x k nm x x x n k nmx x x x x n π π ε ε ε π π − − = = − − − = = − = − = −= − = − − + −= − − = − − − = − =− − + = −= − + − + ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ^ \ 在 中 在 中 为奇 当 时 1 ∏ n k ε p46,27 求有理根： （1）x 3 -6x2 +15x-14=f(x). 解：有理根可能为±1、±2、±7、±14。 ∵当 a<0 时 f（a）<0，所以 f(x)的有理根是可能 1,2,7,14 f(1)=-4≠0,f(2)=0,f(7)=140≠0,f(14)=1764≠0,只有一个x=2 （2）4x4 -7x2 -5x-1=f(x). 解：有理根可能为±1、± 2 1 、± 4 1 ，∵f(1)=-9≠0，f(-1)=1≠0, f( 2 1 )=-5,f(- 2 1 )=0,f( 4 1 )=-2 64 43 ,f(- 4 1 )=- 64 11 所以f(x)只有一个有理根x=- 2 1 （3）f(x)=x5 +x4 -6x3 -14x2 -11x-3=f(x). 解：可能有有理根为±1、±3、f(1)=-32,f(-1)=0,f(3)=0 f(-3)=-96 故 f(x)有两个有理想-1,3 P46,28
①x?+1：解y=y+1,x?+1=y?+2y+2不可约②x-8x3+12x2+22解取P=2，由Eisenstein判别法，不可约。③x+x+1，解令x=y+1则x°+x*+1=y°+6y+15y*+21y*+15y2+9y+3取P=3即可。①x+px+1为奇素数P(c,yp-i(-1) + p(y-1)+1解：取y=x+1，x+px+1=y+l之Z(c,(-1)yp- +2 py- p=y'+ i=l取p素数，即可?x+4kx+1k为整数解：令x=y+1,则f(x)=x*+4kx+1=y*+4y+6y2+(4+4k)y+(4k+2)取p=2，则p2|4k+2，即可由Eisenstein判别法，f(x)于Z(Q)上不可约。P47.1:证：J,g,都是f,g的组合,所以若c(x)是f,g的公因式,则必有c(x)1j,c(x)/g1,为fi,g,的公因式,即CD(f(x),g(x))≤CD(f(x),g)(x)11f(x)=-(df.(x)-bgi(x),g(x)-(-cf(x)+ag,(x)ad-bcad-bc反过来，得f.g也是f.g的组合，同上理，有CD(f(x),gi(x)) ≤CD(f(x),g(x)即，了与g和F与g,的公因式一致,最大公因式也一致,那(f(x), g(x)=(f(x),gi(x))注：不可约多项式也称既约定多项式f (x)≠0,a,则f(x)不是既约,则称f(x)可约P47,2证: :di(x)f(x)±vi(x)g(x)= (f(x), g(x)) =d(x).f(x)=f(x)d(x), g(x)=g;(x)d(x):ui(x)f(x)+vi(x)gi(x)=1带余除法g(x)0 (u)<0 (gi(x)=0(g(x)+ y(x) )令u(x)=qi(x)gi(x)+u(x)
①x 2 +1：解 y=y+1, x2 +1=y2 +2y+2 不可约 ② 解取P=2，由Eisenstein判别法，不可约。 43 2 xx x −+ + 8 12 2 1 ③x6 +x3 +1,解令x=y+1 则 x 6 +x3 +1=y6 +6y5 +15y4 +21y3 +15y2 +9y+3 取P=3 即可。 ④xp +px+1 为奇素数 解：取y=x+1, x3 +px+1=yp + 1 ( ( 1) ( 1) p i pi i p i cy py − = ∑ − + −+ =yp + 2 1 ( ( 1) 2 p i i pi p i c y py − − = ∑ − + − p 取 p 素数，即可 ⑤x 4 +4kx+1 k为整数 解：令x=y+1,则f(x)=x4 +4kx+1=y4 +4y3 +6y2 +(4+4k)y+(4k+2) 取p=2，则 ， p2|4k+2 即可由Eisenstein判别法，f(x)于 上不可约。 ] _( ) P47.1:证 1 1 1 1 ∵ f , , , ( ) , , ( )| , ( )| , g f g cx f g cx f cx g 都是 的组合 所以若 是 的公因式 则必有 1 1 为 的公因式 即 f g, , CD f x g x CD f x g x { ( ), ( ) ( ), ( ) } ⊆ { 1 1 } 反过来，得 1 1 1 1 1 1 f ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ( ) ( )) x df x bg x g x cf x ag x ad bc ad bc = − −+ − − 1 1 ∴ fg fg , , 也是 的组合 同上理 有, CD f x g x CD f x g x { 1 1 ( ), ( ) ( ), ( ) } ⊆ { } 即， 1 1 f fg 与g和 与 的公因式一致 最大公因式也一致 那 , , 1 1 ( ( ) ( )) ( ( ), ( )) f x gx f x g x ， = 注：不可约多项式也称既约定多项式 f x a fx ( ) 0, , ( ) , ≠ 则 不是既约 则称f(x)可约 P47,2 证：∵d1(x)f(x)≠v1(x)g(x)⇒（f(x)，g(x)）=d(x). f(x)=fi(x)d(x), g(x)=gi(x)d(x) ∴u1(x)fi(x)+v1(x)g1(x)=1 带余除法 令u1(x)=q1(x)g1(x)+u(x) ∂ (u)< ∂ (g1(x))= ∂ ( )()( )( xyxg xg + )
0 (v)<0 (fi(x)=0 (f(x)(f(x), g(x)vi(x)=q2(x)fi (x)+v(x)则fu+gv+fgiqi+figq2=f(x)u(x)+g(x)(x)+fi(x)gi(x)d(x)(qi+q2)=d(x):.d-(uf+vg)=figid(qi+q2),左边次数<0(f)+0(yi)+(d)≤右边次数故左、右两侧只有为0，d-(uf+vg)=0u(x)f(x)+v(x)y(x)=d(x)且0 (u(x)<0 (g(x), 0(v (x)<0(fi(x)P47.3若(x)与g(x)互素,则Vm≥1,f(x"与g(x")也互素证： f(x)与g(x)互素,u(x),v(x),u(x)f(x)+v(x)g(x)=1由推广令p(x)=x",u(x")f(x")+(x")g(x")=1(f(x"),g(x")=1,即f(x")与g(x")互素P47补4由定义有(fiJ)=(.))证明d(x)使得uf+u,f,+..+u.f.=(fi,J.f)证：设d-(fi,f.f)，di=(fif-)d'=(di,f)显然及d”，反之，ddddf（Vi）d'd又dd首项系数=1=d=d'证：由归纳方式u,，使ji+…+u-J,=d,又v,u使得vd+uf=d，AZuf.令u=vu..d=d'=vd,+uf=y (台)+uf.i1,2,s-1uf++us-f.+u,J.P48，补5fg证明若：f(x)g(x)首项系数都=1则[fg)-(f,g)证：令(f,g)=d,f-ffd,g=gid,则(fi,gi)=1,设m(x)=figid显然①fm,gm，故m是一个公倍式
v1(x)=q2(x)f1 (x)+v(x) ∂ (v)< ∂ (f1(x))= ∂ (f(x)/(f(x)，g(x)) 则fu+gv+fg1q1+f1gq2 =f(x)u(x)+g(x)v(x)+f1(x)g1(x)d(x)(q1+q2)=d(x) ∴d-(uf+vg)=f1g1d(q1+q2),左边次数< ∂ (f1)+ ∂ (y1)+ ∂ (d)≤右边次数 故左、右两侧只有为 0，d-(uf+vg)=0 u(x)f(x)+v(x)y(x)=d(x) 且∂ (u(x))< ∂ (g1(x)), ∂ (v (x)< ∂ (f1(x)) P47.3 若 ( ) ( ) , 1, ( ( ) m m fx x m fx x 与g 互素 则∀ ≥ 与g 也互素 证：∵ ∵ f x x ux vx ux f x vxgx ( ) ( ) , ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 与g 互素 ∃ + = = m 由推广 () ,( ) ( ) ( )( ) 1 mm m m m 令ϕ x x ux f x vx gx = + ( ( ), ( )) 1, ( ) ( ) mm m ∴ f x gx f x x = 即 与g 互素 P47 补 4 由定义有 1, 2 1 1 ( ) (( , , ), ), s s s f ff f f f " " = − 1 2 ( ) ( , ) i s ∃ = d x " " f f f 证明 使得u f +u f + +u f 11 2 2 ss . 证：设d=(f1,f2.fs)，d1=(f1.fs-1) d′=(d1,fs) 显然 s d f 及d|d1⇒d|d′, 反之，d′⇒d|d1′, ' s d f ⇒d|fi（∀i ）⇒d′|d。 又d,d′首项系数=1⇒d=d′. 证：由归纳方式 ，使 ′ ∃ui ' ' 1 1 1 1 1 1 , , s s s s u f u f d v u vd u f d − − ' +"+ = ∃ += 又 使得 ′ ∴d=d′= 1 s s vd u f + =v（ ）+ 1 ' 1 s i i i u f − = ∑ s s u f 令 i=1,2.,s-1 ' i u vu = i =u1f1+.+us-1fs-1+ s s u f . P48，补 5 证明 若：f(x)g(x)首项系数都=1 则[f,g]= gf ),( fg 证：令(f,g)=d,f=f1d,g=g1d,则(f1,g1)=1,设m(x)=f1g1d 显然① f|m, g|m, 故 m 是一个公倍式
再设@g，，g(figi)-1,figi/→figid即mm是f、g的一个最小公倍式f(x)-g(x)即证得: [(x)、g(x)=f(x)gi(x)d(x)=(f(x)·g(x)p48.7:f(x)首项系数=1.a(f(x))>0,则f(x)为某不可约多项式p(αx)的方幂的充要条件是Vg(αx)或者(f,g)=1或者3m:f(x)Ig"(x)证明"="反设不是则(x)=p(x)h(x),而a(h(x)>0, P(x)+h(x)=(pr,h)=1,即h/p,取g(x)=p(x),则(f,g)±1,且Vm,Ig",否则h=p(x),矛盾."="f =p',Vg(x),若(p,g)=1=(p",g)=(f,g)=1,若(p,g)+1= plg= fIg"(x)p48.8:f(x)首项系数=1,a(f(x))>0,则f(x)为某不可约多项式的方幂Vg(x)|h(x),由f Igh= f Ig或者3m,f(x) / h"(x)证明"=→"设f=p",若fIgh,(p,h)=1=(p',h)=1=(f,h)=1=lg(p,h)*1=p [h=p|h=f|h(x)"="反设不是,则f =prh,而a(h)>0,pi+h,令g=pi,h=h(x),则fIgh却f +g,f +h",Vm(:(p,h)=1=(p",h)=1)P48，补9证：x"+ax"-"+b没有重数>2的非零根证：反设(x)=x"+ax""+b有k重根α，(k>2，α*0)g(x)=f(x)=nx"-1 +a(n-m)x"-m-有k重根α±0= x-"-(x" +a(n-m)有重根α* 0n.. h(x)= x"+a(n-m)有重根α0n(1【无重数根但h(x)= mx"-l..(h(x) h'(x) :[h'(x)重根0P48、补100± f(x)eC[xl,且f(x)/ f(x"),n>1,证明f(x)的根只能为0或单位根（即满足某x"=1的根）证：设α为f(x)的根，由f(x)==f(x)g(x)..f(α")=0,α"为f(x)的根f(α"）=0,α"为f(x)的根
再设② f l gl dl , .∴ ，令l=dl1，⇒f1|l1,g1|l1 ∵(f1g1)=1, ∴f1g1|l1⇒f1g1d1|l 即m|l m 是 f、g 的一个最小 公倍 式 即证得：[f(x)、g(x)]=f1(x)g1(x)d(x)= ))()(( )()( xgxf xgxf ⋅ ⋅ p fx fx 48.7 : ( ) 1. ( ( )) 0, 首项系数 =∂ > 则 f ( ) x p 为某不可约多项式 ( ) x 的方幂的充要条件是 ∀g( ) x 或者( , f g) 1 = 或者 : ( )| ( ) m ∃m fx g x 证明 1 1 " " ( ) ( ) ( ), ( ( )) 0, ( ) ( ) r ⇐ = ∂> 反设不是则f x p xhx hx p x hx 而 + ⇒ 1 11 ( , ) 1, | , ( ) ( ), ( , ) 1, ph h p x px fg = = 即 取g 则 且 ≠ ∀ , | , ( ), m s mf g h p x 否则 矛盾. = “ ” , ( ), ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1, ( , ) 1 | | ( ) r r r 1 ⇒ = ∀ =⇒ = = ≠⇒ ⇒ f p gx pg p g f g pg p g f g x 若 若 p fx fx fx 48.8: ( ) 1, ( ( )) 0, ( ) 首项系数 =∂ > 则 为某不可约多项式的方幂 ⇔ ( ) | ( ), | | , ( ) / ( ) m ∀ ⇒∃ g x h x f gh f g m f x h x 由 或者 证明" " , | ,( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) 1 | r r ⇒ = 设 若f f p gh p h p h f h f =⇒ =⇒ =⇒ g (,) 1 | | () rr r p h p h p h fh ≠⇒ ⇒ ⇒ x m 1 11 " " , , ( ) 0, , , ( ), r r ⇐ =∂ 反设不是 则 而 f ph h p h p h hx >+ = = 令g 则 | , , ( ( , ) 1 ( , ) 1) m r f gh f g f h m p h p h 却 + + ∀ =⇒ = ∵ P48，补 9 证： ＞2 的非零根 n nm x ax b − + + 没有重数 证：反设 ( ) , n nm f x x ax b k α − =+ + 有 重根 (k＞2，α ≠ 0 ) 1 1 1 /1 / / () () ( ) 0 ( ) ( )0 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0 n n m nm m m m g x f x nx a n m x k an m nx x n an m hx x n h x mx h x h x h x α α α − − − − − − = = +− ′ ≠ − ⇒+ ≠ − ∴ = + ≠ ⎧ ⎧ =∴ = ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ 有 重根 有重根 有重根 无重数根 但 重根 P48、补 10 0 ( ) [ ], ( ) ( ), 1 n ≠ ∈ f x Cx f x f x n 且 > , () 0 m 证明 的根只能为 或单位根(即满足某x =1的根) f x . α 证:设 为f(x)的根,由f(x )==f(x)g(x) n ∴ α α f x( ) n n f( )=0, 为 的根 , 2 2 ( ) 0, ( ) n n ∴ f f α α = 为 的根 x