·t 式中a是在r点的a矢量指定的一个正方向矢量 由r=r()运动方程,或ν=ν(速度方程所确定的加速度矢量a是 ①矢量形式运动方程r=n(1)对时间的二阶变化。或是矢量形式速度方程v=v(1)对 时间的变化率 ②加速度的a的大小为|aF=√a·a ③加速度a在a上的投影为a ④加速度a是速度矢量v=w1)矢量端图上t是刻密切面内切线上的矢量所确定的; ⑤加速度a是质点运动轨迹上r=r(1所确定的点处的矢量 ⑥加速度的量纲(单位)为a的量纲(单位) 即[米秒秒](或记为ms2) 例62如图6-6所示在半径为R的四分之一圆上 作平面运动的动点M。动点M的运动方程为: I R r()=(sinφr+ cospp r2)R =(312+61)2/720 Q(七)= ①M动点的速度矢量端图 ②在速度矢量端图上给出当=时的加速度矢 R 量 ③在运动轨迹上给出当q=时的加速度矢量a 丿o(t)l v(o=r(0=(cos P)R =(t+1)2/120 a(0)=r((=v((=-(osin P, r+cos p,r)R+(coso r)OR a(t)=(cos- sin p)Rr-(sin+ cos)Rr, =(t+1)x/120 =x/120 ①M动点的速度矢量端图 t=0 120’ 0
6 a a a a = a ⋅ = ⋅ + | | a 0 式中 a+是在 r 点的 a 矢量指定的一个正方向矢量。 由 r = r(t)运动方程，或 v = v(t)速度方程所确定的加速度矢量 a 是： ① 矢量形式运动方程 r = r(t)对时间的二阶变化。或是矢量形式速度方程 v = v(t)对 时间的变化率； ② 加速度的 a 的大小为| a |= a ⋅ a ； ③ 加速度 a 在 a0 上的投影为 a； ④ 加速度a 是速度矢量v = v(t)矢量端图上t 是刻密切面内切线上的矢量所确定的； ⑤ 加速度 a 是质点运动轨迹上 r = r(t)所确定的点处的矢量； ⑥ 加速度的量纲（单位）为 a 的量纲（单位）， 即[米]/[秒][秒]（或记为 m/s2 ）。 例 6-2 如图 6-6 所示在半径为 R 的四分之一圆上 作平面运动的动点 M。动点 M 的运动方程为： ⎩ ⎨ ⎧ = + = + (3 6 ) / 720 ( ) (sin cos ) 2 2 1 2 t t t R ϕ r ϕ r ϕ r 试求： ①M 动点的速度矢量端图； ②在速度矢量端图上给出当 4 π ϕ = 时的加速度矢 量 a； ③在运动轨迹上给出当 4 π ϕ = 时的加速度矢量 a。 解： ⎩ ⎨ ⎧ = + = = − ( 1) /120 ( ) ( ) ( cos sin ) 2 1 2 t t t R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v r r r 图 6-6 a(t) = r(t) = v (t) = −(ϕsinϕ1r1 +ϕ cosϕ1r2 ) ϕ R + (cosϕ r1 − sinϕ r2 ) ϕ R ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = − − + /120 ( 1) /120 ( ) ( cos sin ) ( sin cos ) 2 2 1 2 ϕ π ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ t a t Rr Rr ①M 动点的速度矢量端图 t = 0 120 π ϕ = ，ϕ = 0 11π 6π π 61π
v(Olso=R r 120’=2625° v(Oles=(cos 26.25r-sin 26.25 E)OT R 120 11丌 10 1209=90 11 T R M动点的速度矢量端图如图6-6所示。 ②=45°=/4 120 120 a()l=4s=R(-q(p+@2nll=s a(t)L=s=×R√2(G2+q+) clR 120)120 a(t)Lb-的几何表示如图6-6(轨迹表示和速度矢量端图表示) §6-2点的运动(直角坐标法) 当点的运动方程r=r(t)但给定。则按(6-3a)或(6-3b)可确定点运动时的速度矢 量ν=r(t);按(6-6a)或(6-6b)可确定点运动时的加速度矢量a=v1)=(1)。由于 r(1)、v(1)、a(1)都是三维空间中的矢量。且r(1)是起始点固定在O点的约束矢量<<矢量起 始点被约束不动的矢量称为约束矢量>,v(1)、a(1)则是自由矢量<矢量起点可以变化的矢 量称为自由矢量>>。无论是约束矢量,还是自由矢量都可以在矢量起点处的一组(三维空 间是三个)线性无关的矢量线性表示。这一组线性无关的矢量称为矢量表示的基底。而任 意矢量在基底上线性表示的系数称为矢量在该基底上的坐标。对r()、v()、a(1)矢量的分 析可采用在一组给定基底上的分析。这样的分析方法称为坐标法。本章中只考虑直角坐标 法和自然坐标法两种基本矢量坐标分析
7 0 1 1 120 v( ) | r r R t t R π = = ϕ = t = 5 120 6π ϕ = ，ϕ = 26.25° 120 6 ( ) | (cos 26.25 sin 26.25 ) 5 1 2 R t t π v = ° r − ° r = t = 10 120 11π ϕ = ，ϕ = 90° 10 2 120 11 v( ) | r R t t π = = − M 动点的速度矢量端图如图 6-6 所示。 ② ϕ = 45° = π / 4 t = 61 −1 120 61π ϕ = 120 π ϕ = a(t ) | R 2 2 ϕ = 45° = [(ϕ -ϕ 2 )r1-(ϕ +ϕ 2 )r2] ϕ=45° | 120 120 61 2 1 2 2 2 2 4 45 R | (t )| | R ( ) π π ϕ ϕ ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a = ° = + = + 0 ϕ=45 a(t )| 的几何表示如图 6-6（轨迹表示和速度矢量端图表示） §6-2 点的运动（直角坐标法） 当点的运动方程 r = r (t)一但给定。则按（6-3a）或（6-3b）可确定点运动时的速度矢 量 v = r(t) ；按（6-6a）或（6-6b）可确定点运动时的加速度矢量 a = v(t ) = r(t )。由于 r(t)、 v (t)、a (t)都是三维空间中的矢量。且 r (t)是起始点固定在 O 点的约束矢量<<矢量起 始点被约束不动的矢量称为约束矢量>>，v (t)、a (t)则是自由矢量<<矢量起点可以变化的矢 量称为自由矢量>>。无论是约束矢量，还是自由矢量都可以在矢量起点处的一组（三维空 间是三个）线性无关的矢量线性表示。这一组线性无关的矢量称为矢量表示的基底。而任 意矢量在基底上线性表示的系数称为矢量在该基底上的坐标。对 r (t)、v (t)、a (t)矢量的分 析可采用在一组给定基底上的分析。这样的分析方法称为坐标法。本章中只考虑直角坐标 法和自然坐标法两种基本矢量坐标分析
所谓直角坐标法是在三维空间的每一点处按矢 量的平行性给出一组三个相互正交的单位长度基底 i、j、k。并给定任一确定不变的点,由该点和该点 处<通常该点取在r(1)的起始点处>一组基底i、j k构成直角坐标系。若该点标记为O,则{O;i、j k}称为三维空间的一个直角坐标系。且称O点为该 坐标系的原点,ijk称为该坐标系的基矢量,而 过O点沿jk的三条分别与、jk指向一致的 有向直线称为该坐标系的x、y、z坐标轴。如图6-7 对运动的动点的运动学分析,当给定直角坐标系 图6-7 {O;i、j、k},其运动方程r=r(1);速度矢量ν=r(D);加速度矢量a=v1)=r()都可以 在{O;i、j、k坐标系中表示为 r=r(o=x(i+y(oj+=(o k (6-7a) =P(1=V2t)i+V,1)j+v2(k (67b) a=F(D)=a2(1)i+a1(1)j+a2(D)k (6-7a)称为运动方程的{O;i、jk}直角坐标系表示的运动方程,x(1)、()、x(1称为运动 方程r=n(1)在{O;ijk}坐标系中的坐标。对给定的时刻、x(1)、y()、x(1完全确定了运 动质点在三维空间中的位置。当将t作为x(1)、1(1)、(1)坐标的参数时,由 y=y(1) (6-8) 二==(1) 中消去参数t所得三维空间的{O;i六坐标系表示的空间曲线就是运动轨迹。 在{O;i、六k}直角坐标系中,j、k不随位置的变化而改变(即三维空间的每一点 处的j、k都是相同的);ijk不随时间的变化而改变(即在任何时刻i、、k也都是 相同的)。因此有 ai ol Ol Ol =0 可=0:9=0:9=0:9 (6-9) 0 0 0 az dt
8 所谓直角坐标法是在三维空间的每一点处按矢 量的平行性给出一组三个相互正交的单位长度基底 i、j、k。并给定任一确定不变的点，由该点和该点 处<<通常该点取在 r (t)的起始点处>>一组基底 i、j、 k 构成直角坐标系。若该点标记为 O，则{O；i、j、 k}称为三维空间的一个直角坐标系。且称 O 点为该 坐标系的原点，i、j、k 称为该坐标系的基矢量，而 过 O 点沿 i、j、k 的三条分别与 i、j、k 指向一致的 有向直线称为该坐标系的 x、y、z 坐标轴。如图 6-7 所示。 对运动的动点的运动学分析，当给定直角坐标系 图 6-7 {O；i、j、k}，其运动方程 r = r(t)；速度矢量v = r(t) ；加速度矢量a = v(t) = r(t) 都可以 在{O；i、j、k}坐标系中表示为： r = r(t) = x (t)i + y (t) j + z (t)k （6-7a） v = r(t ) = vx (t )i + vy (t )j + vz (t )k （6-7b） a = r(t) = ax (t)i + ay (t) j + az (t)k （6-7c） （6-7a）称为运动方程的{O；i、j、k}直角坐标系表示的运动方程，x(t)、y(t)、z(t)称为运动 方程 r=r(t)在{O；i、j、k}坐标系中的坐标。对给定的时刻 t、x(t)、y(t)、z(t)完全确定了运 动质点在三维空间中的位置。当将 t 作为 x(t)、y(t)、z(t)坐标的参数时，由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t （6-8） 中消去参数 t 所得三维空间的{O；i、j、k}坐标系表示的空间曲线就是运动轨迹。 在{O；i、j、k}直角坐标系中，i、j、k 不随位置的变化而改变（即三维空间的每一点 处的 i、j、k 都是相同的）；i、j、k 不随时间的变化而改变（即在任何时刻 i、j、k 也都是 相同的）。因此有 = 0 ∂ ∂ x i ； = 0 ∂ ∂ y i ； = 0 ∂ ∂ z i ； = 0 ∂ ∂ t i = 0 ∂ ∂ x j ； = 0 ∂ ∂ y j ； = 0 ∂ ∂ z j ； = 0 ∂ ∂ t j （6-9） = 0 ∂ ∂ x k ； = 0 ∂ ∂ y k ； = 0 ∂ ∂ z k ； = 0 ∂ ∂ t k