7 有关特征值的一些结论 设是A=(a)x的特征值，则 ()2也是A'的特征值； (2)1是A的特征值(k为任意自然数；p(2)是 p(A)的特征值其中p(2)=a0+a12+·+am2", p(A)=0E+a1A+.+amAm. 3当4可逆时是A~的特征值A是的 特征值 区回
. 1 ; 1 (3) , ( ) . ( ) . ( ) , (2) ( ); ( ) (1) ; ( ) , 1 0 1 0 1 特征值 当 可逆时 是 的特征值 是 的 的特征值其 中 是 的特征值 为任意自然数 是 也 是 的特征值 设 是 的特征值 则 A A A A A a E a A a A A a a a A k A A a m m m m k k T ij n n − = + + + = + + + = ７ 有关特征值的一些结论
8 有关特征向量的一些结论 定理 设1,2，1m是方阵A的m个特征值， P1,P2,Pm依次是与之对应的特佃向量，如果 2112,2m各不相等则p1,P2,Pm线性无关 即属于不同特征值的征向量是线性无关的 定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量
定理 . , , , , , , , . , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 即属于不同特征值的特征向量是线性无关的 各不相等 则 线性无关 依次是与之对应的特征向 量 如 果 设 是方阵 的 个特征值 p p p p p p A m m m m m 定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ８ 有关特征向量的一些结论
相似矩阵 定义设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 PAP=B, 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似， 对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换 工王王王王王 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性
定义 . , , . , , , , 1 1 可逆矩阵 称为把 变 成 的相似变换矩阵 对 进行运算 称为对 进行相似变换 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 P A B A P AP A B A A B P AP B A B n P − − = 矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性． ９ 相似矩阵
10 有关相似矩阵的性质 (1)喏A与B相似，则A与B的特征多项式 相同，从而A与B的特征值亦相同. (2)若4与对角矩阵 22 Λ= 相似，则21,22，.，2n是A的n个特征值
, , , , . (2) 1 2 2 1 相 似 则 是 的 个特征值 若 与对角矩阵 A n A n n = １０ 有关相似矩阵的性质 若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同． A A B A B B (1)
(3)若A=PBP1,则A=PBP-, (A)=Po(B)P-1. 特别地，若有可逆阵P,使P1AP=A为对角阵 则有A=PAP-1,p(A)=Pp(A)P-1. (4)A能对角化的充分必要条件是A有n个线 性无关的特征向量. (5)A有n个互异的特征值，则与对角阵相似
, ( ) ( ) . , , , ( ) ( ) . (3) , , 1 1 1 1 1 1 A P P A P P P P AP A P B P A PB P A P B P k k k k − − − − − − = = = = = = 则 有 特别地 若有可逆阵 使 为对角阵 若 则 (4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量． A A n (5) A 有 n 个互异的特征值，则 A 与对角阵相似．