当x=1时，称x为单位向量 向量的内积满足施瓦茨不等式 [x,y≤[x,xy,y, 从而有 Lx,川s1,当xy≠0时 xyl 上页 返回
当 x = 1时,称x为单位向量. 1, ( 0 ). [ , ] [ , ] [ , ][ , ], 2 从而有 当 时 向量的内积满足施瓦茨不等式 x y x y x y x y x x y y
3 向量的夹角 定义 当x≠0，y≠0时， 0=arccos x,] xy 称为n维向量x与y的夹角. 当肖x,y小=0时，称向量x与y正交 若x=0,则x与任何向量都正交
定义 . [ , ] arccos 0, 0 , 称 为 维向量 与 的夹角 当 时 n x y x y x y x y = 0, . [ , ] 0 , . 若 则 与任何向量都正交 当 时 称向量 与 正 交 x x x y x y = = ３ 向量的夹角
4 正交向量组的性质 所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量.向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基。 定理 若n维向量a1,a2,a,是一组两两正交的非 零向量，则a1,2,a,线性无关 定义设n维向量e1,e2,e,是向量空间V(VcR") 的一个基，如果e1,e2,e,两两正交则称e1,e2, e,是的一个规范正交基 回
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 , , , , . , , , 1 2 1 2 零向量 则 线性无关 若 维向量 是一组两两正交的非 a a a n a a a r r . , , , , , , , , , , , ( ) 1 2 1 2 1 2 是 的一个规范正交基 的一个基 如 果 两两正交 则 称 设 维向量 是向量空间 e V e e e e e n e e e V V R r r n r 定义 ４ 正交向量组的性质
主主主王王王王王王王 若e1,e2,e,是的一个规范正交基那么V 中任一向量都可表为 a=21e1+2e2+.+me, 其中 2=e{a=[a,el,(i=1,2,r) 施密特正交化方法 设a1,a2,a,是向量空间V的一个基，要求y 的一个规范正交基只需把1，a2,4,这个基规 范正交化
[ , ],( 1,2, , ). , , , , , 1 1 2 2 1 2 e a a e i r a e e e a e e e V V i T i i r r r = = = = + + + 其 中 中任一向量 都可表为 若 是 的一个规范正交基那 么 施密特正交化方法 . , , , , , , , , 1 2 1 2 范正交化 的一个规范正交基只需把 这个基规 设 是向量空间 的一个基 要 求 a a a a a a V V r r
第一步 正交化 取 b1=1; b2=02 (busaalbi [b1,b] b,=a, 161,611 [br-1,br-1 则b1,b2,b,两两正交且与a1,a2,a,等价， 区回
, , , , , , , . . [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] ; [ , ] [ , ] ; 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 则 两两正交 且 与 等 价 取 b b b a a a b b b b a b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a r r r r r r r r r r r − − − − = − − − − = − = 第一步 正交化