例题1-2:空间一点P(1,2,3),由该点到y轴引垂线,求1)垂足到P点 的位移;2)该位移的方向向量。 解:分析本题的解题关键在于找出垂足点的坐标。既然是点P(1,2,3)到Y 轴做垂线,该位移一定垂直于Y轴,也就意味着位移处于过垂足点且平行于 Ⅹ-Z平面的平面上,如此,根据坐标的定义,可以判定,垂足点的y坐标值 定与P点的y值相等,由于在Y轴上,垂足点的x、z坐标值均为0,设垂足 点为P1,则P点的坐标为P1(0,2,0)。关于位移的图形表示如图6所示 Fp=P一=(1-0)+(2-2)j+(3-0) 该位移向量的单位向量为 2(1-0)i+(2-2)+(3-0)k F-√1-0)2+(2-2)2+(3-0)2√0√0 问题?对X、Z轴作垂线的向量又如何表示?
例题 1-2：空间一点 P（1，2，3），由该点到 y 轴引垂线，求 1）垂足到 P 点 的位移；2）该位移的方向向量。 解：分析本题的解题关键在于找出垂足点的坐标。既然是点 P（1，2，3）到 Y 轴做垂线，该位移一定垂直于 Y 轴，也就意味着位移处于过垂足点且平行于 X-Z 平面的平面上，如此，根据坐标的定义，可以判定，垂足点的 y 坐标值一 定与 P 点的 y 值相等，由于在 Y 轴上，垂足点的 x、z 坐标值均为 0，设垂足 点为 P1，则 P1点的坐标为 P1（0，2，0）。关于位移的图形表示如图 6 所示 Þ 该位移向量的单位向量为 10 3 (1 0) (2 2) (3 0) 10 (1 0) (2 2) (3 0) 2 2 2 P P P P P P 1 1 1 i j k i k r r r r r = + - + - + - - + - + - = - - = 问题？对 X、Z 轴作垂线的向量又如何表示？ 此点为 P 点，坐标 P（1，2，3） Y 轴 1 2 O 3 X 轴 Z 轴 图 6、位移向量的图形表示 此点为垂足，坐标 P1（0，2，0） r r r i j k (1 0) (2 2) (3 0) P1P P P1 = - = - + - + -
3、线元向量:在空间任意一路径的某一点上,任取一长度微元,线元的大 小为微元长度,方向为路径在这点的切向方向,用d表示,如图7所示。 假设起点坐标、末点坐标分别为(x,y,z)、(x+dx,y+dy,z+dz),则该线元坐 向量可以表示为 dl= dx i+ dyj+ dz k (1.6) 其中dx、dy以及d分别表示线元dl末点与线元起点的坐标差。 对于一个积分路径,可以看成由无数线元构成,如图8所示
3、 线元向量：在空间任意一路径的某一点上，任取一长度微元，线元的大 小为微元长度，方向为路径在这点的切向方向，用 dl 表示，如图 7 所示。 假设起点坐标、末点坐标分别为（x,y,z）、（x+dx,y+dy,z+dz），则该线元坐 向量可以表示为 （1.6） 其中 dx、dy 以及 dz 分别表示线元 dl 末点与线元起点的坐标差。 对于一个积分路径，可以看成由无数线元构成，如图 8 所示 dl P2 P1 图 7、线元的图示 线元 dl 起点 线元 dl 末点 P2 P1 图 8、路径的线元构成 路径起点 路径末点 d l dx i dy j dz k = + +
例1-3、如图9,试表示出在半径为R的圆轨道上任意一点处的线元 解分析,在实际问题的计算时,对线元的表示应根据实际问题采取有利于计 算的表达方式,在本例,我们采用2种表达方法,1)直角坐标下的表达; 2)极坐标下的表达 第一种方法:在X-Y平面,dz=0由定义有 Y轴 dl=dxi +dyj 上式中dx和dy分别表示在圆上任意一点,其 所对应的弧角为0+d6处以及弧角为0处 ~o X轴 两点的x坐标差和y坐标差。 由于在圆上,圆路径可用以弧度角参数方程表图9、线元示意图 x=Rosa dx=-Rsinada y=Sina dy= rosada d= Rda(-sina i +cosa)(1.7) 第二种方法:对于一些计算,为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向 向量写成a°,如图9,在弧角为a处点的线 元又可写为 Y轴/该方向单位向 量为a0 dl=dla= rdad X轴 上式,d为弧元da所对应的弧长 图10、线元示意图
o α dα Y 轴 X 轴 图 10、线元示意图 该方向单位向 量为 α 0 例 1-3、 如图 9，试表示出在半径为 R 的圆轨道上任意一点处的线元 解 分析，在实际问题的计算时，对线元的表示应根据实际问题采取有利于计 算的表达方式，在本例，我们采用 2 种表达方法，1）直角坐标下的表达； 2）极坐标下的表达 第一种方法：在 X-Y 平面，dz = 0 由定义有 dl dxi dyj = + 上式中 dx 和 dy 分别表示在圆上任意一点，其 所对应的弧角为 θ+ dθ 处以及弧角为 θ 处 两点的 x 坐标差和 y 坐标差。 由于在圆上，圆路径可用以弧度角参数方程表 示 ( sin cos ) sin cos cos sin dl Rd i j y R dy R d x R dx R d a a a a a a a a a Þ = - + î í ì = Þ = = Þ = - （1.7） 第二种方法：对于一些计算，为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向 向量写成 α0，如图 9，在弧角为 α 处点的线 元又可写为 a aa dl = dl = Rd 上式，dl 为弧元 dα 所对应的弧长 o α dα Y 轴 X 轴 图 9、线元示意图
注意: 1)以上给出了圆弧路径的线元表示,试问 对于过原点向外引出的任意一条射线, 线元如何表示? R dx= cosadi y= Sina→d d=dr(cosa i +sina ))(1.82 a SInd di 2)路径单位向量的理解:一般而言,线元向量可以表示为 团=d+d+d=dl(C7+元+k)=dl(cosi+cos+coyk) 其中,(cOxi+cos3j+cosk)为线元的单位在三个坐标方向的投影分量表述 比较(1.7)式与(1.8)式,切向线元与径向线元的单位向量是不相同的,切 向比径向多“转”90度,故 切向单位向量 cos(a+)i+sin( a+o) (1.8b) 径向单位向量 cos a I+sin a
注意： 1) 以上给出了圆弧路径的线元表示，试问 对于过原点向外引出的任意一条射线， 线元如何表示？ (cos sin ) sin sin cos cos dl dr i j y R dy dr x R dx dr a a a a a a Þ = + î í ì = Þ = = Þ = (1.8a) 2) 路径单位向量的理解：一般而言，线元向量可以表示为： ( k) dl(cos i cos j cos k) dl dz j dl dy i dl dx dl dxi dyj dzk dl = + + = + + = a + b + g 其中，(cos i cos j cos k) a + b + g 为线元的单位在三个坐标方向的投影分量表述 比较（1.7）式与（1.8）式，切向线元与径向线元的单位向量是不相同的， 切 向比径向多“转”90 度，故 r i j i j a a p a p a a cos sin ) 2 sin( 2 cos = + = + + + 径向单位向量 切向单位向量 （ ） （1.8b） o α Y 轴 X 轴 图 11、径向线元示意图 该方向单位向 量为 r 0