梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符向量场F在一点的散度表示的是此点产生流体的能力.若divF（M）>0.则在M点产生流体，此点就称为“源”，若divF（M）<0,则在M点吸收流体此点就称为“漏”或“汇”，当divF处处为零时.F就称为无源场由Gauss公式和积分中值定理F.nds = l (%+% + ) dV = ((%+%+0)(M)0(V),-ar其中M'是S内一点，它随S收缩到M而趋于M.因此有（%++%+%QQdiv F(M) =)(M)dy0z这样就得到散度的计算公式apQQQQ++divF=(11.1)Iay02arGauss公式也可以表示为 F.nds =divFdv.(11.2)返回全屏 关闭 退出II6/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î þ| F~ 3:ÑÝL«´d:)6NUå. e div F~(M) > 0, K3 M :)6N, d:Ò¡/ ’0 , e div F~(M) < 0, K3 M :á Â6N, d:Ò¡/¦0½/®0. div F~ ??", F~ Ò¡Ã |. d Gauss úªÚÈ©¥½n, ✍ S F~ · ~ndS = ✝ V ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z dV = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z (M0 )σ(V ), Ù¥ M0 ´ S S:, § S  M ªu M. Ïdk div F~(M) = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z (M). ùÒÑÝOúª: div F~ = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z . (11.1) Gauss úª±L« ✍ ∂V F~ · ~ndS = ✝ V div F dV. ~ (11.2) 6/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符由前面这个式子，可以得到Gauss公式的物理解释：单位时间内流过物体表面的流量等于物体内所有“源”或“汇”的代数和因此.Gauss公式也称为散度公式div：F→divF是向量场到数量场的一个映射，它满足以下运算法则1°div(cF+CF）=CidivF+C2divF2,C1,C2是任意常数2°divuF）=udivF+gradu·F其中u是一个数量场例4求电场强度E=%的散度，其中π=（cyz)，=解qqTdivE=divdiv+grad1r3r33qqgradr.r+r3r33q力3q=0.r3r4T返回全屏关闭退出7/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î dc¡ùªf, ± Gauss úªÔn)º: ü mS6LÔ NL¡6þ uÔNS¤k/ 0½/®0êÚ. Ïd, Gauss úª¡ ÑÝúª. div : F~ → div F~ ´þ|êþ|N, §÷v±e${K: 1 ◦ div(c1F~1 + c2F~2) = c1 div F~1 + c2 div F~2, c1, c2 ´?¿~ê. 2 ◦ div(uF~) = u div F~ + grad u · F~, Ù¥ u ´êþ|. ~ 4 ¦>|rÝ E~ = q r 3~r ÑÝ, Ù¥ ~r = (x, y, z), r = |~r|. ) div E~ = div q r 3 ~r = q r 3 div ~r + grad q r 3 · ~r = 3q r 3 + q r 3 0 grad r · ~r = 3q r 3 − 3q r 4 ~r r · ~r = 0. 7/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符向量场的旋度11.6.3设 F = (P,Q,R)是空间 V 中一个光滑n向量场,Po E V,π是任意单位向量.以 Po为圆心，充分小的正数e为半径作一个垂直于π的小圆盘D。CV.aD。是D的边界.设De表示D。上沿正向（即与亢协调的方向）的X单位切向量，则积分F.tdsF.dr=(JaDeJaD为向量场F在圆周aD。上的环量.因此1F.dsd(De) JaDe反映了向量场 F在 Ds上的平均旋转状态,这里 d(D）是 D。的面积返回全屏关闭退出8/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| Ã | Hamilton Î 11.6.3 þ|^Ý F~ = (P, Q, R) ´m V ¥1w þ|, p0 ∈ V, ~n ´?¿ü þ. ± p0 %, ¿©ê ε »Ru ~n Dε ⊂ V, ∂Dε ´ Dε >. ~τ L« ∂Dε þ÷ (= ~n N) ü þ, KÈ© ~n ~τ Dε ☞ ∂Dε F~ · d~r = ☞ ∂Dε F~ · ~τ ds þ| F~ 3 ± ∂Dε þþ. Ïd 1 d(Dε) ☞ ∂Dε F~ · ~τ ds N þ| F~ 3 Dε þ²þ^=G, ùp d(Dε) ´ Dε ¡È. 8/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符若→0 时,极限1F.dsQπ(po) = lime-0 d(De) JaDe存在，则此极限称为向量场F在po处绕亢的环流量（涡量）.它反映了F在Po点的旋转状态设想F是一个流速场，在 po处形成漩涡，在po放置一个小叶轮，小叶轮在F的作用下将旋转起来，改变小叶轮轴的角度，则叶轮旋转的速度也发生变化.存在一个轴的方向π,在这个方向上Q(po）达到最大值.根据 Stokes公式，有.nds,F.dr=JaDeD.aRapaQapOR aQ这里=由积分中值定理，存在一点pE82zaorayayDe使得. ndS = (i . n)(p')d(De).DI返回全屏关闭退出I9/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î e ε → 0 , 4 Ω~n(p0) = lim ε→0 1 d(Dε) ☞ ∂Dε F~ · ~τ ds 3, Kd4¡þ| F~ 3 p0 ?7 ~n 6þ (µþ). §N F~ 3 p0 :^=G. F~ ´6|, 3 p0 ?/¤/µ, 3 p0 Ó, Ó3 F~ ^eò^=å5. UCÓ¶Ý, KÓ^=Ýu )Cz. 3¶ ~n, 3ùþ Ω~n(p0) . â Stokes úª, k ☞ ∂Dε F~ · d~r = ☎ Dε ~Ω · ~ndS, ùp ~Ω = ∂R ∂y − ∂Q ∂z , ∂P ∂z − ∂R ∂x , ∂Q ∂x − ∂P ∂y . dÈ©¥½n, 3: p 0 ∈ Dε ¦ ☎ Dε ~Ω · ~ndS = (~Ω · ~n)(p 0 )d(Dε). 9/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符因而有Nn(po) = i(po) · π.由此式可知，当π取2(po）的方向时，元(po）达到最大值[2(po)l.于是，称2(p)为 F在p 点的旋度，记为rot F(p).即apORaQapORQQrot F =(11.3)22da，rdyay曲面S上的Stokes公式可以表为b F.dr=rotF.nds.(11.4)JJSLas当rotF处处为零时，F称为无旋场此时向量场F沿封闭曲线的环量为零旋度也可以看成是向量场到向量场的映射，它满足如下运算法则10rot(cFi+CF)=CirotFi+C2rotF2,C1,C2是常数2° rot(uF)=urot F+gradu× F,u是一个数量场div(F×)=·rotE-F·rotE3°返回全屏退出关闭II10/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î Ï k Ω~n(p0) = ~Ω(p0) · ~n. ddª, ~n ~Ω(p0) , Ω~n(p0) |~Ω(p0)|. u´, ¡ ~Ω(p) F~ 3 p :^Ý, P rot F~(p). =, rot F~ = ∂R ∂y − ∂Q ∂z , ∂P ∂z − ∂R ∂x , ∂Q ∂x − ∂P ∂y . (11.3) ¡ S þ Stokes úª±L ☞ ∂S F~ · d~r = ☎ S rot F~ · ~ndS. (11.4) rot F~ ??", F~ ¡Ã^|. dþ| F~ ÷µ4þ". ^ݱw¤´þ|þ|N, §÷vXe${K: 1 ◦ rot(c1F~1 + c2F~2) = c1 rot F~1 + c2 rot F~2, c1, c2 ´~ê. 2 ◦ rot(uF~) = u rot F~ + grad u × F~, u ´êþ|. 3 ◦ div(F~1 × F~2) = F~2 · rot F~1 − F~1 · rot F~2. 10/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ