引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法$9.6多元函数的泰勒公式与极值9.6.1多元函数的中值定理设D CRn是一个开集.若对任意两点 a.bED.连接a,b的直线段都包含于D中,则称D是Rn中的一个凸区域定理1（微分中值定理）设D C IRn是凸区域，f：D→R在D 中可微则对D中任意两点a,b.在连接a,b的直线段上存在一点，使得f(b) - f(a) = Jf(ε)(b - a).注意，a,b都理解为列向量返回全屏关闭退出I-1/27
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ §9.6 õ¼êVúª4 9.6.1 õ¼ê¥½n D ⊂ Rn ´m8. eé?¿ü: a, b ∈ D, ë a, b ãÑ ¹u D ¥, K¡ D ´ Rn ¥à«. ½n 1 (©¥½n) D ⊂ Rn ´à«, f : D → R 3 D ¥, Ké D ¥?¿ü: a, b, 3ë a, b ãþ3: ξ, ¦ f(b) − f(a) = Jf(ξ)(b − a). 5¿, a, b Ñn)þ. 1/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法证明连接a，b的直线段上的点可表为(t) = a + t(b - a), t E [0, 1]令p(t) = f(α(t)), t E [0,1]则(t)是[0,1] 上的可微函数.根据一元函数微分中值定理，知存在θE(0,1),使得p(1) - (0) = '(0).因为p'(t) = J(f o α) = Jf(α(t) · Jc(t) = Jf(α(t)(b - a);所以有f(b) - f(a) = Jf()(b - a)其中 = a+(b -α)返回全屏关闭退出I42/27
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ y² ë a, b ãþ:L x(t) = a + t(b − a), t ∈ [0, 1]. - ϕ(t) = f(x(t)), t ∈ [0, 1]. K ϕ(t) ´ [0, 1] þ¼ê. â¼ê©¥½n, 3 θ ∈ (0, 1), ¦ ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ 0 (θ). Ï ϕ 0 (t) = J(f ◦ x) = Jf(x(t) · Jx(t) = Jf(x(t)(b − a), ¤±k f(b) − f(a) = Jf(ξ)(b − a), Ù¥ ξ = a + θ(b − a). 2/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法定理2 设D CRn是区域,f：D→R在D中可微.若在D中有Jf =0,则f在D上是一个常向量证明当D是凸区域时，结论可由中值定理推出.现在证结论对一般的区域成立.取 ao E D. 只要证对任意 y E D 有 f(co) = f(y). 因为 D 是连通的, 所以存在 D 中的曲线 L 连接 &o和 y.L 是 D 中一个有界闭集,它到 D 的边界的距离0.于是存在有限个小开球Bo, B1,·.., Bk C D使相邻的小球相交非空，且Co EBo, yEBk.注意到小球是凸区域，在每个小球上仍有Jf=0，所以f在每个小球上是常向量.由于这些小球是连接着的.因此有f(y)=f(aco)返回全屏关闭退出I3/27
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ ½n 2 D ⊂ Rn ´«, f : D → R 3 D ¥. e3 D ¥k Jf = 0, K f 3 D þ´~þ. y² D ´à«, (Ød¥½níÑ. y3y(Øé «¤á. x0 ∈ D. yé?¿ y ∈ D k f(x0) = f(y). Ï D ´ëÏ, ¤ ±3 D ¥ L ë x0 Ú y. L ´ D ¥k.48, § D > .ål δ > 0. u´3km¥ B0, B1, · · · , Bk ⊂ D ¦¥, x0 ∈ B0, y ∈ Bk. 5¿¥´à«, 3z¥þEk Jf = 0, ¤± f 3z¥þ´~ þ. duù ¥´ëX. Ïdk f(y) = f(x0). 3/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法9.6.2多元函数的泰勒公式引理1设k,n是正整数,αi,2,·,an是实数.那么有k!M(αi +... +an)k =201ET(9.1)a1Qn!i+.+an=k其中求和号表示要取遍所有和为k的非负整数α1，··,αn.说明：此引理是牛顿二项式展开式的推广，从下面的证明可以看出，引理中的 α1，，αn也可以不是实数，只要它们可以相加和相乘，且加法和乘法满足交换律就可以.比如用%代替i也可以.α=（α1，··，αn）称为多重指标, 记 [α| = α1 +·..+ αn, α! = αi!...αn!. 对于向量 = (αi,.·,Cn)记α=α1.··αan.于是(9.1)可表示为k!V(αi +...+an)k=Q!a|=kI返回全屏关闭退出4/27
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ 9.6.2 õ¼êVúª Ún 1 k, n ´ê, x1, x2, · · · , xn ´¢ê. @ok (x1 + · · · + xn) k = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! x α1 1 · · · x αn n , (9.1) Ù¥¦ÚÒL«H¤kÚ k Kê α1, · · · , αn. `²: dÚn´ÚîªÐmªí2, le¡y²±wÑ, Ún ¥ x1, · · · , xn ±Ø´¢ê, §±\Ú¦, \{Ú¦{ ÷vÆÒ±. 'X^ ∂ ∂xi O xi ±. α = (α1, · · · , αn) ¡õ I, P |α| = α1 + · · · + αn, α! = α1! · · · αn!. éuþ x = (x1, · · · , xn) P x α = x α1 1 · · · x αn n . u´ (9.1) L« (x1 + · · · + xn) k = X |α|=k k! α! x α . 4/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法证明对n用归纳法.当n=1时，无需证明.当n=2时，(9.1)就是牛顿二项式展开.现设对于n一1个加项的展开式成立.因而(ai +...+ an)k= (ai + ... + an-1) + an)kk!=,(a1+...+ an-1)k-anamnan!(k - Qn)!!an=0kk!(k - αn)!=\...aaX1C1an!(k - an)!Qi!...an-i!Qn=0a1+..+an-1=k-ank!ZQ1Ta11 ai!...an!ai+.+an=k这就说明（9.1）对于n个加项的展开式成立.于是引理得证返回全屏关闭退出-5/27
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ y² é n ^8B{. n = 1 , ÃIy². n = 2 , (9.1) Ò´Ú îªÐm. yéu n − 1 \Ðmª¤á. Ï (x1 + · · · + xn) k = (x1 + · · · + xn−1) + xn k = X k αn=0 k! αn!(k − αn)! (x1 + · · · + xn−1) k−αnx αn n = X k αn=0 k! αn!(k − αn)! X α1+···+αn−1=k−αn (k − αn)! α1! · · · αn−1! x α1 1 · · · x αn−1 n−1 x αn n = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! x α1 1 · · · x αn n . ùÒ`² (9.1) éu n \Ðmª¤á. u´Úny. 5/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ