三、主要问题一求方程的解 1、微分方程的解:之赵岁 2+、(X91)=0 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 微分方程的解上(%y…9=己 设y=x)在区间/上有n阶导数,-2= C十C F(xp(x),p(x),…p(x)=0 2X-2三 2、微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同 例文正学院 6
6 文正学院 1、微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 微分方程的解. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 2、微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
y=SL+C2C 例y=y,/通解p=e; 小=64X+C28 y+y 0,通解y= c sinx+c2cosx; M=Six+Co)X 2 (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 y=xtC L3) 3、初始条件:用来确定任意常数的条件 (X = 千(x984)=0.3=时10,=影 x=×2=y 例文正学院 7
7 文正学院 (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = c1 x + c2 x 3、初始条件: 用来确定任意常数的条件
4、初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 f(x,y) 甲(x93)= 阶 过定点的积分曲线! =Xo X=x y=f(x,v,y) 阶 = 05x=x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 例文正学院 8
8 文正学院 过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 4、初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
例2验证函数x=c1cost+c2sinM是微分方程 d 2x 女2+kx=0的解.并求满足初始条件 xa=A,=0的特解 x'=ck X=-C2kCok+-s比t =cao+(28心→9=4 {t=0=0 o=-ckunoc2kaso X=ACokt 例文正学院 9
9 文正学院 例 2 验证:函数 x c cos kt c sinkt = 1 + 2 是微分方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解
04,所价 刘 思考题 y=fix, y) 函数y=3e是微分方程y-4y=0 的什么解? 27 2Ⅹ 32e 例文正学院 10
10 文正学院 思考题 函数 x y e 2 = 3 是微分方程y − 4 y = 0 的什么解?