416 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 4.4模型二 相对于模型一,模型二需要增加考虑两种情况:一种是在工序正常工作时有可能检查到 2%的不合格零件而误认为出现故障停机,发现误检后不进行换刀,继续正常工作,每次误停 机将造成1500元的损失;第二种情况是由于工序发生故障后仍有40%的合格零件产生,必 然会导致因为检查到40%的合格零件而认为工序正常的错误,这样会增加不合格零件的数 量和相应增加不必要的检查,从而使工序的损失增加 同模型一,我们同样列出以单位合格零件的期望损失为目标的函数方程 系统工序的期望总损失U 系统工序合格零件的单位期望损失T(C)=系统工序产生的合格零件总数 系统工序的总损失Ua又包括定期换刀前出现故障情况下产生的损失U1加上定期换 刀前未出现故障情况下产生的损失U2 我们仍假设整个系统共包括N次更新过程 换刀前出现故障的更新次数:N·F(T)(F(T)的含义同模型一) 换刀前未出现故障的更新次数:N[1-F(T) 所以 U1=N[1-F(T)P1 U2=N·F(T)·P2 下面我们将通过对一个换刀间隔T的研究来求P1、P2 1.换刀前未出现故障的更新过程的单位损失费用P1包括 (1)一次换刀费用:k (2)检查费用:单位更新周期内的检查次数乘以单次检查费用 即g1t 同模型一我们用g1表示T/Tce的整数部分 (3)由于车床在正常工作时将会产生2%的不合格产品,如果在检测时正好被检测到, 将误认为有故障而停机,造成的误停机损失总费用等于误停机的次数乘以一次误停机的损 误检测而停机的次数=总的检测次数×在正常情况下不合格产品所占总产品的百分含 量,即:2%g1= 所以,误检测而停机造成的损失费用为:4×1500=30g 4)在工序正常运行中产生的不合格零件的损失费用=单位换刀间隔T内产生的不 合格零件总数T×2%与单个不合格零件的损失f的乘积,即 T2% f 合计(1)、(2)、(3)、(4)各项的费用,即为换刀前未出现故障的更新过程的单位损耗费用 P1=k+g14+30g1+x 所以换刀前未出现故障的情况下的损失费用U1合计为
自动化车床最优刀具检测更换模型 41 U1=N[1-F(T)]k+g1+30g1+21平 2.同上,定期换刀前出现故障情况下的总损失U2=N·F(T)·P2,其中P2为换刀前 出现故障的更新过程的单位损失费用 的不病出兴 由于故障的出现是随机的,即故障可能在x≤T的任意点发生,同模型一,系统在此单 位刀具更换间隔内的平均损失费用为:P2= wxF(7dx排的 其中单位换刀间隔内的x点处发生故障的平均损失费用W2包括 (1)发生故障前的检查费用:(g2-1)t(g2表示包括故障后的那次检查的故障前所有 检查次数的和) 主亮() (2)发生故障前由于误检停机造成的损失费用(同一(3)中表述): (g2-1)×2%×1500=30(g2-1) (3)正常工序中2%的不合格零件造成的损失:战当块是 %cf= (4)发生故障后的检查所需费用 限单团工中二用 ①因为每次故障后要进行一次检查,而这次检查时可能检查到40%的合格品,也就是 下一次是否进行检查的可能性为40%,于是对从g2次(记为第0次)到g1(记为第82 次)进行累计作为平均检查次数,即 出出举使用一 0.4((当T-x>H时) 其中H等于Tc减去X除以Tc所得的余数,即为发生故障的检查间隔内,发生故障到 下次检查之间产生的零件数 这时发生故障后的检查所需费用为∑0.4 ②而当T-x≤H时,即换刀发生在从故障发生到下一次检查维修之间的时候,检查 次数为0,所以检查费用为0 (5)对故障进行维修换刀的平均损失 (1-0.461-621)d 其中0.462+1为第g1“k2+1次检查时检查到合格品时的概率围一两千 (6)发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用:到量 ①当了-x>H时即当故障发生后第一次检查到合格零件而误认为是无故障发生直 到检查出故障而进行换刀或维修为止的情况,这时损失可分为两个部分:二2. a发生故障产生后到第一次检查的所产生不合格零件的损失,即由,一回于 亲滑个0.6Hf员人非工得,品合长差爷 b从发生故障后的第一次检查直到维修换刀时产生不合格零件的损失会为 于是当T-x>H时,发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用:资 的工样品(H+0.4T+0.427+…0.4T)0.6 ②当Tx≤H,即固定换刀发生在从故障发生到第一次检查之间时,发生故障后产生
418 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 的不合格零件的平均损失费用 (T-x)·0.6f 所以换刀前出现故障的情况下总的损失费用U2=N·F(T)Wxdx 其中Wx等于(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各项损失之和 因此,整个系统的平均损失为 Ua=[+8(+30+3]N(1=F)+wN,F(r 共产生的合格零件总数为: (1)换刀前未发生故障所产生的总的合格零件个数:它等于换刀前未发生故障的情况下 产生的零件总数与合格零件所占百分比的乘积 N[1-F(T)]T×98% (2)换刀前发生故障所产生的总的合格零件个数 N,FT)[(0993)](6结果见上式) 于是,模型二中系统工序的单位期望损失为 r(C)=(1)+(2从而再次转化为确定T和T的值使r()最小的关系式(1)(2) 结果见上式) 同模型一利用计算机进行穷举比较法计算得出最优解 1<T(C)=9.268 T”=306 Tc’=28 同模型一的改进,我们对模型二进行不等间隔检查的改进,用改进的模型一中的g1 (T)(单位换刀间隔内的检查次数)g2(x)(在故障x前进行检查的次数)、H(x)(从损坏到 下次检查间产生的零件数)代入模型二中,求得 T(C)=9.047 T=316 相对于模型一,由于模型二发生故障后仍有40%的合格品产生,因此给检查带来了国 难,为了尽量减少误检造成的损失,于是相应的检查间隔变大而换刀间隔减小,从而单位期 望损失也由4.405变为9.047 45模型二检查方式的改进(问题3的解答) 对于问题二,由于工序正常时产出的零件仍有2%为不合格品,而工序故障时产生的零 件有40%为合格品,这样工作人员在通过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的 查方式必然会导致正常工序时因检查到不合格零件而误认为出现故障停机的错误和工序发 生故障后检查到的仍是合格品而认为工序正常的错误,都将造成很大损失.于是我们建 工作人员当检查到一个零件为合格品时,再检查一个零件,若仍是合格品则判断工序正常 若为不合格品则判定为系统工序出现故障.这样虽然会相应地增加检查的费用,但大大降
自动化车床最优刀具检测更换模型 419 低了因误检而造成的损失,从而使系统工序获得更高的效益.(编者按:这就是 Bayes决策 的思想,最好具体算一下这样处理后,减少了多少误判概率、)自 5对模型的评价和改进 本文所阐述的模型是以单位期望效益为目标的更新报酬定理3的改进与推广.它广泛 适用于自动化车床的管理系统,但只能是单道工序加工单一零件的情况,却对扩展到多道工 序和多种零件的复杂车床管理系统产生指导意义,本文还应用等概率法对等间隔检查方式 进行了改进,利用失效概率密度函数使检查间隔符合等概率分布,使模型更优.本模型对可 能发生的故障损失逐一进行了细致的分析求解,但多目标的模型方程比较繁琐,于是本模型 选择了用计算机进行了给定范围的穷举比较法来进行求解 在假设中我们假设检查零件时如检查到不合格零件,立即停止生产(即不再产生不合格 产品),而实际中由于检查时间不容忽视,必然会多产生一些不合格产品,本模型中并没有考 虑,会造成一些误差.另外本模型没有对故障及维修时间提出具体要求,即在整个工序中如 何尽量提高生产效率问题上留下了遗憾 参考文献 1茆诗松,周纪芗,概率论与数理统计,中国统计出版社 1出 2]蔡俊,可靠性工程学,黑龙江科学技术出版社 沈玉波,冯敬海.可修系统的最优检测史新模型,数学的实餞与认,19%0.了 这种创造过程所牵涉的是摸索、疏忽、猜测和假设。想象、直觉、预测、察实验、机会 运气、艰苦的工作以及巨大的耐心都被用来掌握一个关键的概念,构成一个猜想以及找到一 证明。总体来说,数学创造在于“用自己的智慧做自己最厌烦的事,同时把握住一切可 数学家在创造性工作中所能得到的满意,射猎的兴奋,发现的额音,取得成就的意识,以 及成功的得意,所有这些都比他在按照演绎模式对证明做最后整理的工作中所能得到的要 多得多,强烈得多。 Morris Kline; fi E J. N. Kapur, Thought on Nature of Mathematics of Alexandrov etal.,1973;中译本,《数学家谈数学本质》,北京大学出版社,1989,320-321;
自动化车床管理的 于杰蒋爱民李荣冰当当 (南京航空航天大学,南京210016)单的 时品的指导教师倪勤 编者按本文思路清晰叙述简洁扼要在处理5%其他故障方面有独到之处,但问题二的 分析和结果有不足和错误 摘要本文讨论了系统的最优维修策略问题,考虑到题目中所涉及的变量大多为随机变 量,我们建立了单目标的期望值模型.并利用计算机采用穷举搜索法求解得第一种情况最优解 为每生产18个零件检查1次,当检查到20次时更换刀其,这时生产单个零件的最低平均费用 为462元,的出的 最后我们指出了模型中一些未考虑的因素,分析了这些因素可能对模型产生的影响,并提三 出了模型的改进方案 1问题的提出(略) 2基本假设 (1)假定生产任一零件出现故障机会均等,且相互独立 (2)发现故障时无法区分刀具故障和其它故障 (3)其它故障服从几何分布 (4)每次只检查1个零件 (5)零件检查时间很小,可忽略不计 (6)检查间隔是相等的 (7)假设随机变量X1、X2是相互独立的,X1、X2的含义见符号说明 3符号说明 n:每生产n个零件检查一次 m:检查第m次时更换新的刀具 T:定期更换刀具时已生产的产品的总数即刀具更换周期T=n·m T:刀具更换周期的数学期望(均值) F:故障时产出的零件损失费用F=200元/件 J:进行检查的费用J=10元 D:发现故障进行调节使恢复正常的平均费用D=3000元/次(包括刀具费) K:未发现故障时更换一把新刀具的费用K=1000元次 M:工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用M=1500元次 C(n,m):整个工序在刀具更换周期的总费用的数学期望值 S(n,m):整个工序在刀具更换周期的生产单个零件平均费用的数学期望值