运动定性讨论 r的变化范围:有效势能Uar(r)=U(r)+L2/2mr2 L2/2mr2称为离心势能 r的变化范围由=0的条件决定 即:U(r)+L2/2mr2=E (1)若r≥ mIn 则粒子从∞来,到处后又向离去 (2)若rmn≥r≥rm,轨道位于两圆=rm和r=rm 之间。从→r→r,矢径转过角度0为: r max L/rdr △=2 V2mE-U(r)-L2/2mr 2 轨道闭合的条件是0=2mm/n(m、n是整数)
轨道闭合的条件是 （ 、 是整数）。 之间。从 ，矢径转过角度 为 ： （ ） 若 ，轨道位于两圆 和 （ ） 若 ，则粒子从 来，到 处后又向 离去； 即 ： 的变化范围由 的条件决定。 称为离心势能 的变化范围 有效势能 2 m / n m n 2m E U(r) L / 2mr L/ r dr 2 r r r 2 r r r r r r r 1 r r r U(r) L / 2mr E r r 0 L / 2mr r : U (r) U(r) L / 2mr max min r r 2 2 2 max min max max min min max min min 2 2 2 2 2 2 eff = − − = → → = = + = = = + 运动定性讨论
讨论粒子在吸引势U=-a/r3中的运动情况 解:粒子的有效势能:Um=L2/2mn2-a/r3 (1)曲线渐近行为 r→0,ter→0;e L2/2mr2 r->0,Ue→-∞。 (2)曲线零点: eff/max Uer=0→r=rn=2ma/L2 E (3)曲线极值: dUer/dr=0 ro r r2 →r=rm=3ma/L2 a/r qUefrmax=L6 /54 m3 a
讨论粒子在吸引势U = - a / r3中的运动情况 解：粒子的有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3 (1) 曲线渐近行为 r → ∞， Ueff → 0； r →0， Ueff → - ∞ 。 (2)曲线零点： Ueff = 0→r = ro = 2ma/L2 (3)曲线极值： dUeff / dr = 0 → r = rm = 3ma/L2 (Ueff )max = L6 / 54 m3 a 2 - a / r3 L2 / 2mr2 O E (Ueff )max r Ueff rm ro r1 r2
§33与距离成反比的有心力场 吸引势:U(r)=-a/r 有效势能:Um=L2/2mr2-a/r (1)r→0,Um→+∞;Ufl,2/2mr2 9 ef→ 0 (2)曲线极值:dUem/dr=0 →r=r=L2/ma 2 qUer)min=m a2/2L2 E (3)曲线零点: e丿max Uer=0→r=ro=L2/2ma a/r
§3.3 与距离成反比的有心力场 吸引势：U(r) = - a / r 有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r (1) r →0 ，Ueff → + ∞； r → ∞， Ueff → 0。 (2)曲线极值：dUeff / dr = 0 → r = rm = L2 / ma (Ueff )min = m a 2 / 2L2 (3)曲线零点： Ueff = 0→r = ro = L2 / 2ma - a / r L2 / 2mr2 O E (Ueff )max r Ueff ro r1 rm r2
比耐公式轨道方程 运动方程:m(-r03)=Fr)() m(re+2r0)=F(r)(2) 因为有心力F(r)=0→r6+2r0=0 1 d →-(r2()=0→h≡r20守恒量 r dt 由(1)式得: mr= F(r+mre=f(r)+mh /r 3)
比耐公式——轨道方程 + = − = m(r r ) F (r) (2) m(r r ) F (r) (1) : r 2 2 运动方程 守恒量 因为有心力 (r ) 0 h r dt d r 1 F (r) 0 r 2r 0 2 2 = = + = mr F(r) mr F(r) mh /r (3) (1) : 2 2 3 = + = + 由 式 得