§41数学期望 ●定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X),其中g是连续函数 (i)X是离散型随机变量,分布律为 P{X=xk=p,k=1,2, 若级数∑8(x)p绝对收敛,则有E(Y)=E(gX)=∑g(x)P i〕X是连续型随机变量,概率密度为fx), 若积分∫8(x)(x绝对收敛,则有 E(Y)=E(g(X)=g(x)f(x)dr 这样求E(Y)而不必算出Y的分布 17/92
17/92 §4.1 数学期望 定理 ⚫ 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)，其中g是连续函数 (i) X是离散型随机变量，分布律为 P{X=xk }＝pk，k＝1,2,… 若级数 绝对收敛，则有E(Y)＝E(g(X))＝ (ii)X是连续型随机变量，概率密度为f(x)， 若积分 绝对收敛，则有 E(Y)＝E(g(X))＝ 这样求E(Y)而不必算出Y的分布 =1 ( ) k k pk g x =1 ( ) k k pk g x − g(x) f (x)dx − g(x) f (x)dx
§4.1数学期望 ●定理的证明(略),以下对离散型X进行简要说明 E(Y)=∑nP{Y=}=∑P(X)=y k=1 ∑(八∑PX=x})=∑(∑PX=x k=1 xi:g(xi=Vk k=l xi: g(xi)=yk ∑(∑g(x)P{X=x}) k=1 x1:g(x)= ≥实际上是对所有的X的取值的概率的加权求和 E(Y)=∑(x,)P{X=x ●连续型的特例情况下证明,请参看教材 18/92
18/92 §4.1 数学期望 定理的证明(略)，以下对离散型X进行简要说明 E(Y)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 实际上是对所有的X的取值的概率的加权求和 E(Y) ＝ 连续型的特例情况下证明，请参看教材 = = 1 { } k k k y P Y y = = 1 { ( ) } k k k y P g X y = = = 1 : ( ) ( { }) k x g x y k i i i k y P X x = = = 1 : ( ) ( { }) k x g x y k i i i k y P X x = = = 1 : ( ) ( ( ) { }) k x g x y i i i i k g x P X x = = 1 ( ) { } t g xt P X xt
§4.1数学期望 ≥推广:多维随机变量(X,X2,…,Xn)的函数Y=g(X1,X2,,Xn) 也满足以上定理。 例如:若Z=g(X,Y),且g是连续函数,则 ●若(X,Y)是连续型随机变量,概率密度为fxy),那么 e(=E(g(X,Y)) g(x, y)f(x, y)dxdy 只要该积分绝对收敛则存在 °若(X,Y)是离散型随机变量,分布律PX=xY=}=P, 2=1,2,那么 E()=E(g(X、Y)=∑∑(x,), 右边级数绝对收敛 19/92
19/92 §4.1 数学期望 推广：多维随机变量(X1 ,X2 ,…,Xn )的函数Y＝g(X1 ,X2 ,…,Xn ) 也满足以上定理。 例如：若Z＝g(X,Y)，且g是连续函数，则 若(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，那么 E(Z)＝E(g(X,Y))＝ 只要该积分绝对收敛则存在 若(X,Y)是离散型随机变量，分布律P{X=xi ,Y=yj }＝pij， i,j=1,2, …那么 E(Z)＝E(g(X,Y))＝ ， 右边级数绝对收敛 − − g(x, y) f (x, y)dxdy = 1 =1 ( , ) j i i j pij g x y
§41数学期望 例9:设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) /(2x3y2),1/x<y<x,x>1 其它 求数学期望E(Y),E(1/(XY) ●解此时可以看成是函数z=g(xy)=y 这样E(Z)=E(Y)引8)(x1d=y(x,h 3 dd=3/4 J1/x2x 也可以先求Y的边缘概率密度,再用数学期望定义求解 对于第2个问题 E(Z)=E(/(XY)= f∫(x,y)小 0d00 4.yx=3/5 1/x 2xy 20/92
20/92 §4.1 数学期望 例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)＝ 求数学期望E(Y)，E(1/(XY)) 解 此时可以看成是函数z＝g(x,y)=y 这样E(Z)＝E(Y)＝ ＝ ＝ ＝3/4 也可以先求Y的边缘概率密度，再用数学期望定义求解 对于第2个问题 E(Z)＝E(1/(XY))＝ ＝ ＝3/5 0, 其它 3/(2 ), 1/ , 1 3 2 x y x y x x − − g(x, y) f (x, y)dxdy − − yf (x, y)dxdy 1 1/ 3 2 x 3 x dydx x y − − f x y dxdy xy ( , ) 1 1 1/ 4 3 2 x 1 x dydx x y
§41数学期望 例10设(X,)的分布律为 X 2 3 0.2 0.1 0 0.1 0 0.3 ER: E(X), E(),E(/X), EI(X-Y)I 解X的分布律为 2 3 0.4 0.2 0.4 21/92
21/92 X p 1 2 3 0.4 0.2 0.4 解 X 的分布律为 X Y 1 2 3 − 1 0 1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0 0.3 : ( ), ( ), ( ), [( ) ]. 2 求 E X E Y E Y X E X −Y 例10 设 (X ,Y) 的分布律为 §4.1 数学期望