§4.1数学期望 例3如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金,想投资 于某项目,欲估成功的机会为30 %,可得利润8万元,失败的机会 为70%,将损失2万元若存入银 行,同期间的利率为5%,问是否 作此项投资? X 8 解设X为投资利润则Pp0307 E(X)=8×0.3-2×0.7=1(万元) 存入银行的利息:10×5%=0.5(万元), 12/92 故应选择投资
12/92 例3 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金, 想投资 于某项目, 欲估成功的机会为 30 %, 可得利润8万元 , 失败的机会 为70%, 将损失 2 万元.若存入银 行, 同期间的利率为5% , 问是否 作此项投资? 解 设 X 为投资利润,则 E(X) = 8 0.3 − 2 0.7 = 1(万元), 存入银行的利息: 10 5% = 0.5(万元), 故应选择投资. X p 8 − 2 0.3 0.7 §4.1 数学期望
§41数学期望 例设随机变量X服从I(a,B)分布其密度函数为 x≤0 fC X""已 x>0 B T(a) 求E(X) 解EX xdexlidx Br(a y=x/ 历y e d r(a+1=aB a T(a 当a=时,X服从参数为指数分布这时E(X)=B r(s)=edx 13/92
13/92 例 设随机变量X服从 (,)分布,其密度函数为 = − − , 0 ( ) 1 0, 0 ( ) 1 / x e x x f x x 求E(X) §4.1 数学期望 1 , ( ) . ( 1) ( ) ( ) / ( ) 1 0 0 / = = + = = = + − + − X E X e dy y x e dx y x y x 当 时 ， 服从参数为 的指数分布这 时 解 E(X)= − − = 0 1 (s) x e dx s x
S41数学期望 例按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~ 10:0都恰有一辆客车到站但到站的时刻是随机 的,且两者到站的时间相互独立其规律为 8:108:308:50 到站时刻 9:109:309:50 H222 2 概率 ()一旅客8:00到车站,求他候车时间的数学期望 i)一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望 14/92
14/92 的 且两者到站的时间相互独立 其规律为 都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机 按规定 某车站每天 , . 10 : 00 , , 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~ 到站时刻 概率 9 :10 8 :10 9 : 30 8 : 30 9 : 50 8 : 50 6 1 6 3 6 2 (i) 一旅客8 : 00到车站,求他候车时间的数学期望. (ii) 一旅客8 : 20到车站,求他候车时间的数学期望. 例 §4.1 数学期望
§4.1数学期望 解设旅客的候车时间为X(以分计) ()X的分布律为 103050 32 候车时间的数学期望为 E(X)=10×+30×+50×2=33339分 i)X的分布律为 10 3050 70 90 3 2111312 x k 候车时间的数学期望为 E(X)= 3 2 13 10×2+30×2+50××2+70××+90××=222(分) 15/92
15/92 解 设旅客的候车时间为 X(以分计). (i) X的分布律为 X pk 10 6 1 306 3 506 2 候车时间的数学期望为 6 2 50 6 3 30 6 1 E(X) = 10 + + = 33.33(分). (ii) X 的分布律为 X pk 10 6 3 306 2 506 1 6 1 706 3 6 1 906 2 6 1 6 2 6 1 90 6 3 6 1 70 6 1 6 1 50 6 2 30 6 3 10 ( ) + + + + E X = = 27.22(分). 候车时间的数学期望为 §4.1 数学期望
§4.1数学期望 ●随机变量的函数的数学期望 ●比如:飞机机翼受到的正压力W=Kv2是风速V 的函数,如果V的分布已知,如何求得W的数学 期望,而无需先求出W的分布 ●先由V的分布求其函数W的分布,再求数学期望 是可以的,而还有更简单直接的求解方法 16/92
16/92 §4.1 数学期望 随机变量的函数的数学期望 ⚫ 比如：飞机机翼受到的正压力W＝kV2是风速V 的函数，如果V的分布已知，如何求得W的数学 期望，而无需先求出W的分布 ⚫ 先由V的分布求其函数W的分布，再求数学期望 是可以的，而还有更简单直接的求解方法