dy 0 6: 因此,(1.54)得证。日 定理153设X和Y分别是mXn和"Xυ矩伡。若 (1.5.5) oY -AE(m, n)B+ CE(m,n)D, (156) (vec(=B⑧+Km(D⑧C) a(vec(X)) 证能够证明 (1.5.7)I, -(vec(En), vec(E),,, vec(Em),., vec(E1),…,vec(Enn) 由假设(1.55),我们有 oy vec (B的A)ec(E;)+(D⑧C) vesel 因此, o(ye(-(e(E)(B⑧A)+(c(E)(D⑧C), 6 a(vecs c(Y)) a (vec(X)) (vec(E1),., vec(ED,., vec(E vec(ema))(BA)+(vec(E),'. veC(Emi),.,vec(E),., vec(Emn)(DoC) 利用(157)和Kmn的第四个性质,(156)得证,0 由定义和上述定理,我们容易得到下列有用的结论: (1)若y-Ax,则一A (2)若y一xAx,则2-(4+A)x x (3)若YAXB其中A,B,X和Y如定理(151)中所给 定,则
(158) a(vec(Y)-B a(vec(X ) 且若YAXB,则 (159) a(vec(Y)) mK,(BOA. a(vec(X)) (4)若Y-XAX,共中￥:n×m和X:mxn,则 1510) a(vecY Kn(AXl)+(In⑧AX) a(vec(X)) (5)若￥-AXB,则 (1.511) a( vec(Y 2) -(X-B)②(AXy) o(vec(X)) 1.54矩阵微分 对于标量函数f(x),其中x(x…,x,微分4定义为 (1512) f-∑ma d 0x; 其中dx-(dx3,…,dx,).相应于此定义,我们把mxn阶矩 阵X〓(x;)的矩阵微分定义作 dx (1513) dX dx 对于标量函数f(X)微分f(x)现在是 (14)∑∑ at drier rat ydx 0: aX 我们立即得到下列结果 (1)以X+￥)-dX+aY (2)dcX)-cdx,其中是常数。 (3)(dX)e dx (4)“trX))〓tdX) (5)dXY)〓(dX)Y+K(dY) 证d(XY)的()元素是 26·
∑xy)-∑(dx;)+∑x(ly) 此即(dX)Y+K(dY)的(,元素。阝 (6)(X⑧Y)一(dX)⑧Y+X⑧(dY) (7)若f(X)是一个标量函数且对某一个A有 df e tr(d'dX) 则 证明是容易的我们留给读者完成。利用好和06X之 间的关系,我们可以通过矩阵微分得到许多导数 例1.51由于 dtr(aX) tr(d(aX))- tr(AdX) 故我们有 dtr(AX 例1.52由于 dtr(XAX)e tr[(dX)AX +XAdX] tr[(AX)dX +XdX] tr[(AX +AXdXI 我们有 Otr(XAX (A+RX OX 例153设X是方阵王X;是x約余子式,又z=(xX;i) 则我们有 2dx;-∑x (zdX)。 因此 aX x(X-1) OX 例1.54若|XAX>0,则由上例我们有 27
logix -tr[(X4X)-(X AX)] trI(XAx)X(A+d)dX] 因此 a logIX'ax⊥-(A+A)X(X￡x) aX 1.6变换的雅可比行列式的计算 为了计算各种统计量的多元累积分布函数,我们经常遇到重 积分的变量的变换。现在,我们来考虑在#维空间的子集R上的 重积分 (1.6.1) g(x1,…,x) dx.dx 设x,…x通过关系式yf为,…,x),=1,,n 变换为新变量y1,……,yn,其中{f是连续可微的.这些关系式 将记作yf(x)和x-f(y).0x/0y的行列式的绝对值称 为变换x到y的雅可比行列式,记作 J(x→y) ax 或 0(x12…,x) a(yu 因此,(16.1)可以表为 (162) (f(y))J(x→y)d 其中 16.3) {yly〓f(x),x∈R} 定理161 (1)孔y→x)-J(x→y)l (2)若y-f(x)和z=g(y),则 (1.64) (x→z)一J(x→y)J( (3)若dx-Ady,则J(x→y)是|A|的绝对值,成记为 J(4x→4y)-/(x-y)
(4)若 Cx1 f;( n-1.y=f(y1,…,yt,x),其中y;和x;是 q;×1向量,i=1,,n则我们有 (16.5)J[ of 证由定理15,2,我们有 oz a 故(2)得证。在(2)中置z-x,则得到(1).由(15)我们有 dy-2,dx,且J(dx→ly)-{0x-1(x→y)-|Al+ 最后,我们证明(4).设 df: i < G T(r),G(G;),dxm(dx;,…,dx)和dy(dy, dyn).因为y;-f(y1,…,y-1,x;…,石),故y的微分是 af a f G:idyit>tid G: id Tidx 或 dy=Tdx和dy=G-rd 29