目 录 第一章多元样条函数引论 ·鲁卓 §1.多元样条函数的基本框架 新音看中专非中●中· 2 52.广义截断多项式与多元样条函数一般表达式 53.多元样条函数插值… 使看甲··专·中·多·音·指自。日子 54.异度样条与带权样条… 16 55.多元有理样条函数简介 19 S6.m维样条函数 第二章多元样条函数空间 51.贯穿剖分上的多元样条函数空间… 52.矩形剖分与简单贯穿剖分上的样条函数空间………40 53.1-型三角剖分上的样条函数空间… §4.2-型三角剖分上的样条函数空间 §5.某些非均匀三角剖分上的样条函数空间 …88 §6.均匀1-型与2-型三角曾分下带有边界条件的样条 函数空间 …-100 §7,非均匀2-型三角剖分下的带有边界条件的样条函 数空间 ……116 58.关于三甪剖分下S:(△)空间的维数 120 第三章研究多元样条的其它方法… 140 §1.B样条法… ·140 §2.B网方法……… §3.构造二元样条的积分方法…… 170 第四章高维样条 §L.协调插值法……… 186 §2.高维样条空间的维数 …………209
53.高维样条中一点维数…………222 §4.求维数的参数引人技巧 …………236 55.二维有洞区域的剖分及三维2型剖分上的多元样条 ……………………255 第五章有理样桌函数 271 §1.任意凸多边形上的C有理函数 …273 52.三角剖分上的C插值有理样条函数 283 §3.三角剖分上的C2插值有理样条函数…………293 §4.三角剖分下C插值有理样条函数… 30l 55.正则四边形剖分上的插值有理样条………………309 第六章分片代数曲线曲面………………………………327 51,代数簇 …………………328 §2.代数簇的光滑拼接条件 334 §3.分片代数簇 342 §4.代数曲线、曲面的逼近…… 第七章多元样条在有限元及CAGD中的应用…… 377 51.多元样条光滑插值格式…………………379 52.参数曲面……………………418 53.散乱数据的曲面拟合………………………………444 §4.高维HCT和PS格式 456 §5有限元空间中的谱基…… ……………………470 参考文献
第一章多元样条函数引论 众所周知,样条函数无论在理论上还是在应用中都具有十分 重要的意义。鉴于客观事物的多样性和复杂性,开展有关多元样 条函数方面的理论研究无疑是极为重要的.60年代至70年代初, G. Birkhoff,H.L. Garabedian和 Carl de boor等研究并建 立了一系列关于 Cartesian乘积型的多元样条理论, Cartesian 乘积型多元祥条虽然有一定的应用价值,但有很大的局限性,且在 本质上可以看作是一元样条函数的简单推广 1975年,本书著者采用函数论与代数几何的方法,建立了任 意剖分下多元样条函数的基本理论框架,并提出了所谓的光滑余 因子协调法。从这种基本观点出发,多元样条函数的任何问题均 可转化为与之等价的代数问题来研究 设D为二维 Euclid空间R中的给定区域。以Pk记二元 k次实系数代数多项式集合 e;-{-∑∑q;xyl为实数 个二元多项式p∈P。称为是不可约多项式,如果除常数和该多 项自身外没有其它多项式可整除它(在复域中).代数曲线 r:(x,y)-0,以x2y)∈P。 称为是不可约代数曲线,如果(xy)是不可约多项式。显然直线 是不可约代数曲线 今用有限条不可约代数曲线对区域D进行剖分△,于是D被 剖分为有限个子区域D,D2,…,Dx它们被称为D的胞腔。形 成每个胞腔边界的线段称为网线,网线的交点称为网点或质点,若 两个厌点为同一网线的两端点,则称该两点是相邻网点 对区域D施行剖分△以后,所有以某一网点V为顶点的跑腔
的并集称为网点V的关联区城或星形区域,记为S(V) 多元样杂函数空间定义为 s(△):-{∈CD)|Slp;∈Pk,i=1,…,N} 事实上,∈S(△)为一个在D上具有阶连续偏导数的分片k 次多项式函数 §L.多元样条函数的基本框架 为建立多元样条函数的基本理论框架,我们需要如下的引理。 引理11设p(x,y)∈Pk,若一次多项式 以(xy)一ax十by十c,a2十b0 的某#个零点(xy;)(i-1,…,n),#≥十1,也是?(xy) 的零点,则p(x,y)必可被以(xy)所整除。即存在多项式q(x y)∈P-1,使得 p(x,y)一(x,y)·q(x,y) 证明因为a与b不同时为0,不妨设b≠0.将px,y)按 y的降幂次序整理为 p(x,y)-a(x)y++a;(x)y1+…十a-n(*)y+a(x), 其中a(x),i-0,…,k为x的次多项式,用一次多项式 I(x,y)除xy),得到 P(r, y-l(r, y) 十 其中q(x,y)∈P,余式r(x)为x的次数不超过k的多项式 按引理所给的条件,可知 (x)〓0,-1,,m≥枣+1 (13) 由于b≠0,所以x≠x(≠)。于是(13)表明r(x)有多 于其次数的互异零点,从而r(x)≡0.这就证明了(11)式成 引理12设x,y)∈P,xy)∈P,且x,y)是不 可约代数多项式,若p(x,y)与q(x,y)有多于如m个公共零 点,则p(x,y)可被q(x,y)所整除。即存在r(x,y)∈P-使
得p(x,y)〓q(xy)·r(x,y) 按代数几何中的 Bezout定理,P(x,y)与q(x,y)只要有 多于k·m个公共零点,则它们必有公共因子存在。但qx,y) 不可约,故qxy)必为P(x,y)的因子 定理13设z一纸(x,y)在两相邻跑腔D;和D;上的表 达式分别为 p(x,y)和 其中P(xy),P(x,y)∈P为使(x,y)∈C“D,UD),必须且 只须存在多项式9:(xy)∈P-+1,使得 P(x,y)-P(x,y)=[l1(x,y)]“·;(x,y),(14 其中D;与D,的公共内网线为 f:l;(x,y)-0. 且不可约代数多项式l;(x,y)∈P 证明设"为指定的正整数,0≤≤k·d一1.按所给 的条件,(x,y)于r上处处连续。所以n(x,y)-P(x,y) P(x,y)于r#上处处为0.由引理L2,存在多项式4(x,y)∈ Pk-,使得 n(x,y)〓P(x,y)一p(x,y)-l4(xy)·(xy).(16) 再根据n(x2y)于r;上一阶偏导数为零的性质,可知 0q1 (x,y)+q1(x,y) ar Or )!r aq Li (r, y)t q,(r, y) oI 0 ay dy /ir 由l;(x,y)的不可约性,从(17)可推得(xy)于r上处处 为0,再次利用引理12,知存在(x,y)∈Px-4,使得 q(x,y)一l;(x,y)·(x,y) (18) 于是 n(x,y)〓p(x,y)-px,y)[l;x,y)]2·( (19 依此类推根据s(xy)于D,UD;上的2阶、3阶、…、阶 偏导数的连续性,最后得到