三重积分及其计算 三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域 推广到空间区域,被积函数推广到 元函数,就得到三重积分的定义
三重积分及其计算 一、三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域 推广到空间区域，被积函数推广到 三元函数，就得到三重积分的定义
设f(x,y,)是空间有界闭区址2上的有界 函数,将闭区域2任意分成?个小闭区域△v1 △v2,…,△vn,其中△v表示第个小闭区域,也 表示它的体积,在每个上任取一点(5,71,5; 作乘积f(5,1,5;),△v;,(i=1,2,…,m),并作和 如果当各小闭区城的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ∫(x,y,z)在闭区址2上的三重积分,记为 f(,y, )di
设 f ( x, y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域 1 v ， 2 v ,, n v ，其中 i v 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , ) i i i 作乘积 i i i i f ( , , ) v ，(i = 1,2,,n)，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y,z)在闭区域 上的三重积分，记为 f (x, y,z)dv
其中d称为体积元,其它术语与二重积分相同 若极限存在,则称函数可积 若函数在闭区域上连续,则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论 其计算方法
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同 若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论 其计算方法
在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面x=常数,y=常数,z=常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方 体 其体积为4=4x小yz 故在直角坐标系下的面积元为dV= dxdydz 三重积分可写成 ∫jy(x,)d-J(x,,)tdk 和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单
二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方 体 其体积为 V = xyz 故在直角坐标系下的面积元为 dV = dxdydz 三重积分可写成 = f (x, y,z)dV f (x, y,z)dxdydz 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重 闭区域!2在xoy z=IcY 面上的投影为闭区域D, S1:z=1(x,y zx, j) S2:z=2(x,y), 过点(x,y)∈D作直线 y b 从z1穿入,从z2穿出 y=y2(x) J=( 先将x,y看作定值,将f(x,y,z)只看作z的 函数,则 z2(x,y = f(x, y, z)dz
x y z o D a b ( ) y = y2 x ( ) y = y1 x ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y (x, y) ①先单后重 D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域 在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出． 函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的 = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz