目 录 第一章无穷维分析的基础知识 §1. Hilbert空间中的线性算子 11基本概念、记号及若干引理 1.2可闭算子、对称算子与自共轭算子 5 13下半有界对称算子的自共轭延拓 14自共轭算子的谱分解,… 15 Hilbert- Schmidt算子与迹算子 18 2.Fock空间与二次量子化. 2.1 Hilbert空间的张量积, 22Fock空间 23二次量子化算子. §3.赋可列范空间与核空间 31赋可列范空间及其对偶空间 37 3.2核空间及其刘偶空间 3.3拓扑张量积、 Schwartz核定理 ,,,47 §4.拓扑线性空间上的 Borel测度…………51 4. I Minlos- Azarov定瑚 ,51 42 Hilbert空间上的 Gauss测度,,,,,, 43 Banach空间上的 Gauss测度,,,,,,, ,,,,,,,,,4 第二章 Malliavin随机变分学 §L. Gauss概率空间与 Wiener混沌分解 11Gaus概率空间及其上的泛函, 74 1.2数值模型,, 1.3多重 Wiener-lt6积分表示,,,,,…83 §2.泛函的微分运算、梯度与散度. 89
2王有限维Gas概率空间 22光滑泛函的梯度与散度.,, 95 23泛函的 Soboley空间. 100 s3. Meyer不等式及其推论 ,,,,,,106 3.1 Ornstein- Uhlenbeck半群 106 32L乘子定理 111 33 Meyer不等式 34 Meyer- Watanabe广义泛函∴,… §4.非退化泛函的分布密度 ,,,,,,,,.,,...,125 4.1 Malliavin协方差阵及若干引理 ,,,,..·125 42分布密度的存在性,,129 43分布密度的光滑性 b 133 44例 第三章 Wiener泛函的随机变分 §1.t6泛函的微分分析与热核的正则性 140 11 Skorohod积分.., ,,140 1.2随机微分方程解的光滑性 146 13亚椭圆性与 Hormander条件,149 1.4 normande定理的概率证明,…… 155 2. Wiener空间中的位势理论与拟必然分析 .,,,,161 21(kp)-容度 22拟连续修正 23容度的胎紧性、连续性与不变性 24正广义泛与有限能量测度 ,,,172 25随机过程的抵必然轨道性质, ,,,,,,176 §3.非适应随机分析 179 31 Skorohod积分的 Riemann和逼近,,,… 32非适应过程的[公式 33非适应随机微分方程 .193 第四章白噪声分析的一般理论 200 §1.白噪声分析的一般框架 201 11wick张量积与 Wiener- Ito-Segal阿构 ,,,.202
12检验泛函与广义泛函空间,,,.205 1.3经典的白噪声分析框架 211 2.泛函空间的刻画 21S-变换与空间(E)=/(0≤B<1)的刻画 22局部S变换与空间(E)c1的刻画∴ 221 23检验泛函空间的两种刻画 24广义泛函的若干例子.. 228 §3泛函的乘积与Wick积 1泛函的乘积 32广义泛函的wick积 33应用于 Feynman积分, 243 §.广义泛函空间的矩刻画与正广义泛函 41重正化算子 245 4.2广义泛函空间的矩刻画 43正广义泛函的测度表示 44应用于P(小)2-量子场 259 第五章广义泛函空间中的线性算子 ,,,,,.264 §1.广义泛函的分析运算 1.1刻度变换·,, 12推移算子与 Sobolev微分,…, 13梯度算子与散度算子 s2.广义泛函空间中的连续线性算子 275 21算子的象征与混沌分解, 276 22广义算子的S-变换与Wk积 ..282 §3.积分核算子与算子的积分核表示 ,,,,288 31张量积的缩合 32积分核算子 ,,291 33广义算子的积分核表示, .,,,,、.,,,,.299 84.在量子物理中的若干应用 41量子随机积分 ..303 ±2Kein- Gordon场 ,,,,,,,,,,306 43无穷维经典 Dirichlet型
附录 A Hermite多项式与 Hermite函数 ,,,,,...,,317 附录B局部凸空间及其对偶 322 1.半范、范数与H范 2.局部凸拓扑线性空间、有界集∴ .323 3.投影拓扑与拓扑投影极限 4.归纳拓扑与拓扑归纳极限 ...326 5.对偶空间和弱拓扑 6.相容性和 Mackey拓扑 7.强拓扑和自反性 329 8.对偶映射 ..· 9.均匀凸空间和 Banach-Sak定理 331 评注 332 参考文献 名词索引 ,,360 符号说明 .,365
第一章无穷维分析的基础知识 §1. Hilbert空间中的线性算子 令Ⅳ表示实数域配或复数域,HK及E表示巫上的 Hilbert空间.不同 Hilbert空间中的内积和范数统一用(,)及 ·‖表示.我们约定内积(x,y)关于x线性、关于y共轭线性 如不特别指明数域丑或,所有结果同时适用于两种情形 1.1基本概念、记号及若干引理 我们用L(H,K)及C(H,K)分别表示H到K中的线性算子 及有界线性算子全体,并用L(H)及C(H分别简记L(H,H)及 C(H,H).设A∈L(H,K),我们用D(4)表示其定义域,它是H的 线性子空间,今后对A∈C(H,K)恒假定D(A)在H中稠,从而 可进一步假定D(A)=H.对无界线性算子A,它的定义域D(4 必须连同算子一同给定.设A∈L(H,K),令 N(A)={a∈D(A):Ax=0},R(4)={Aa:∈D(A)}, 分别称M(A)及R(A)为A的核(或零空间)及值域.如果(A) 在矿中稠,则称A是稠定的.若M(A)={0},则称A是可逆 的对可逆算子A,定义A的逆A-1如下:D(A-1)=R(A);若 Ax=y,则令A-1y=c 乘积空间H×K按如下内积(,)成为— Hilbert空间: ({x,y},{x,w})=(x,2)+(y,u),a,z∈H,,U∈K, (即 Hilbert空间直和H⊕K)设A∈L(H,K),令 g(A=fa, Ac: IE D(A) (1 W(A)={{Aa,:x∈D(4)} I乙L