重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时, 相应地部分量可近似地表示为∫(x,y)da的形式, 其中(x,y)在do内.这个∫(x,y)do称为所求量U 的元素,记为LU,所求量的积分表达式为 U=』(x,y)o
d d f (x, y)d ( x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 D U f (x, y)d dU 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中
对三重积分而言Vhvc2,v(x,y,z)∈dv AU≈∫(x,y,z)h→U=f(x,y,z)dh U=llf(x, 3, z) dv 1。平面图形的面积 由二重积分的性质,当f(x,y)=1时 区域D的面积 2。空间立体的体积 设曲面的方程为z=f(x,y)≥0,(x,y)∈D
dv,(x, y,z)dv U f (x, y,z)dv dU f (x, y,z)dv U f(x, y,z)dv 1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积 D A d 2。空间立体的体积 设曲面的方程为 z f (x, y) 0,(x, y) D 对三重积分而言
则曲顶柱体的体积为=J(x,p)da 由三重积分的物理意义知空间闭区域g的体积为 ∫』 例1计算由曲面z=1-4x2-y2 与xoy面所围成的立体的体积 解一用二重积分 D:4x2+y2≤1v=(-4x2-y2d 由对称性得
则曲顶柱体的体积为 D V f (x, y)d 由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为 V dv 计算由曲面 2 2 z 14x y 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 : 4 1 2 2 D x y D V (1 4x y )dxdy 2 2 由对称性得 例1
1-4x y=4(-4x2-y)h=4d∫0-42-y DI 8 81 (1-4x2)2dx 32] cos=I 0 解二用三重积分 元 Ⅳ=「=4[=4a「「dz 2 0 0
1 2 2 1 0 1 4 0 2 2 2 2 4 (1 4 ) 4 (1 4 ) D x V x y dxdy dx x y dy 2 0 4 2 1 0 2 3 2 4 cos 2 1 3 8 (1 4 ) 3 8 x dx tdt 解二 用三重积分 1 V dv 4 dv 2 1 0 1 4 0 1 4 0 2 2 2 4 4 x x y dx dy dz
例2求z=2-x2-y2,z=x2+y2所围成的立体的体积 解一=v2H1=(2-x2-y)-(x2+y3 2(-x2-y2)da(用极坐标) D =2|d0|(1-r2rr= 0 0 解二2是柱形区域,用柱坐标 2 v=ldy= de dr rdz 00 =2r(2-2r)=7
求z 2 x 2 y 2 ,z x 2 y 2 所围成的立体的体积 解一 D D V V V (2 x y )d (x y )d 2 2 2 2 2 1 D 2 (1 x y )d 2 2 （用极坐标） 2 0 1 0 2 2 d (1 r )rdr 解二 是柱形区域，用柱坐标 V dv 2 0 1 0 2 2 2 r r d dr rdz 1 0 2 2 r(2 2r )dr 例2