目 录 第一章随机过程的一般概念 §1.1強机过程的定义……………… §1.2随机过程的可分性……… 117 §1.3随机过程的可测性…………………………………………12 §1.4条件概率与条件数学期望………………… §1.5马尔科夫性……………… ……21 §1.6转移概率…………………………………………………25 第二章马尔科夫链的解析理论………… §2.1可测转移矩阵的一般性质………………… 32 §2.2标准转移矩阵的可微性………… 46 §2.3向前与向后微分方程组…… 64 第三章样本函数的性质……………………………77 §3.1常值集与常值区间…………… 77 §3.2右下半连续性;典范链………………………………84 §3.3强马尔科夫性…… 弟四章马尔科夫链中的几个问题…… §4.10-1律 ………………104 42常返性与过份函数…………… §4,3积分型随机泛函的分布……… 121 §4.4嵌入问题 133 第五章生灭过程的基本理论 …………142 §5.1数字特征的概率意义……………………………………142 5.2向上的积分型随机泛函 …151 §5.3最初到达时间与逗留时间……… 167 5.4向下的积分型随机泛函……… 76 §5.5几类 KoJMOI'OpOB方程的解与平稳分布 §5.6生灭过程的若干应用……… 199
第六章生灭过程的构造理论 …………205 56.1Dob过程的变换…………… 205 §62连续流入不可能的充要条件……………… 214 §63一般Q过程变换为Donb过程………………………………218 56.4S<∞时Q过程的构造……… §6.5特征数列与生灭过程的分类……… 236 §6.6基本定垩… 247 §6.7S=∞时Ω过程的另一种构造……………………………251 §6.8遍历性与0-1律……………………………………………254 附录一时间离散的马尔科夫链的过份函数………………258 §0.1势与过份函数…………………………………… §0.2过分函数的极限定理 268 附录二2-系与-系方法… ……………283 关于各节内容的历史的注 …………286 参考文献…………… 名词索引…… 293 1管●
第一章随机过程的一般概念 §1.1随机过程的定义 (一)概率空间设已给点所成的集9=(m),以及9中 的一些子集A所成的集,如果多具有下列性质就称它是一 个0代数 1)9∈ 2)如d∈,则A=Ω4∈ 3)如A∈的,n=1,2,…,则∪A∈ 定义在σ代数上的集函数P称为概率,如果P满足下列条件 1°对任意A∈所,有P们)≥0, 2°P(9)=1, 3°如An∈,n=1,2,…,AnAn=中(空集),n≠ 则P(U4)=∑P(1 我们称三元的总体(9,,P)为概率空间,并称点为基本 事件,⑨为基本事件空间,中的集A为事件,称PA)为A的 概率 例】设2=(1,2,…n),所是Q中一切子集的集,P(A) 更为A中所含点的个数 例2设9=(0,1,2,…),即一切非负整数的集,分为只 中一切子集的集,P(A)=∑-,其中x>0为某常数 k! 例3设Q=[0,1],即0与1间一切数的集,分为Q中 borel集所成的σ代数,P(4)等于A的 Lebesgue测度 这三个例中的(旦,,P)都是概率空间
有时为了方便,需设概率空间(Q,,P为完仝的.所谓完 全是指:如果P(A)=0,又BCA,则B∈,从而P(B)=0 这就是说,一切概率为0的集A的子集B也是事件,其概率为0 以后无特别声明时,总没此条件满足 (二)随机变数设x()是定义在Q上的实值函数,如果对 任意实数λ,有 (o:x()≤)∈9 则称x(ω)是一随机变数。令 F(4)=P(x≤)λ∈R1=( 其中(x≤λ)表示满足条件x()≤2的点的集,即(x≤4)= (0:x(u)≤x).我们称F()为x(o)的分布函数.显然,F(2) 不下降,右连续.以后无特别声明时我们总设x(o)取士∞为值 的概率为0,因而 lim FCa)=0, lim F(u)=1 → 定义在同一概率空间(,旷,P上的n个随机变数x1(o) ,x()构成一个n维随机向量X(u) X(u)=(x(ω),……,xn(o) (2) 并称n个元(1;……,n)∈Rn(n维实数空间)的函数 F(λ1,……,λ)=P(x(0)≤A1,…xn()≤λ) 为X()的n维分布函数,由(3)可见F(λ1,…,λ)具有下列 性质: a.对每个λ1是不下降的右连续函数 b.imF(λ1,…,λ)=0,(j=1,……,n) limF(λ 如λ<1 贝 F F(1,…,A1-1,;,1+1…·R) 士 1 +1 →15kF+13“5n ∫,=1
+(-1)”F(1,…,2n)≥0 此条件的直观意义当n=2时最明显.一般地,此式右方是 x(o)取值于n维空间Rn中长方体内的概率,故它大于或等于0 此长方体是(λ1,p1]×(λ22]×…×(λn,k],即是由Rn中如 下的点所成的集它的第j个坐标位于(λ1,]之中,=1, 现在可以脱离随机变数来定义分布函数,我们称任…具有性 质a,b,c的n元函数F(1,……,λn)(λ;∈R1,j=1,……·,n)为n 元分布函数.以豸。表n维空间Rn中全体Borl集所成的代 数,则由实变函数论知,F(λ2……,λn)在图,上产生一概率测度 F(4) F(4)=1dF(λ,…,λ),(A∈掷n) 称F(A),(A∈Bn)为由F(1…,λn)所产生的n维分布.特 别,如F(λ1,……,λn)由(3)式产生,则称F(4)为x()的分布 (三)随机过程设T为R1的某子集,例如T=[0,∞)或 T=(0,1,2,…).如果对每个t∈T,有一随机变数x(u)与 它对应我们就称随机变数的集合X(): X(0)={x:(),!∈T} 为一随机过程,或简称过程.有时也记它为{x(t,),t∈T},或 {x,长∈T},或{x(4),;∈T,或Xo),或X 特别,当T=(1,2,…,n)时,X化为#维随机向量.象对 后者定义分布函数一样,也可对随机过程来定义有穷维分布函数 对任意有限多个∈T,j=1,……,n,令 ,·…冖 (1,…,λn)=P(x,≤λ1,…,x:n≤λn) 它是x(),…,x()的分布函数,当力在一切正整数中变动 而;在T中变动时,我们就得到多元分布函数的集合 F=F t;∈T,j=1 并称F为随机过程X的有穷维分布函数族,由(4)可见F满足下