∑,8E-(8)8(2E 在练习112,113和114中,我们可以看到一些其他的性质 15矩阵的导数和矩阵微分 151矩阵关于标量的导数 定义1.5.1设Y=(y;())是P×q矩阵,其中y;(x是 的函数。记 y17 y (151) 按此定义,易得如下结论: )9(x+Y)-0x+0 a(XY)- axy + ay dr (3) 0(X必Y)0X 区Y+X y (4) ax dX ax eii, 其中X(x)。 (6)0(AxB)一AE1B,其中A和B是常数阵 ()(XAx)-E;Ax+xAE计,其中A是常数阵 (8)若x是非异阵且A和B是常数阵,则我们有 O(Ax"B AXEaxB
证事实上,我们只需证明 0X=-X-E:X- 利用(3),微分X1X-1,我们有 X X-1+X 因而 OX X aX X XE X (9)8X XEX=-n (10)6X--x-∑xEx 一-1 152矩阵的标量函数关于矩阵的导数 定义152设X一(x)是m×n矩阵并设y-fX)是 X的标量函数。我们把y关于X的导数定义为如下的m×n矩阵 6 y Mxml dx 由此定义,显然有下列事实 (1)(o() aj(X) ox OX (2)r(K)!和r(4XB)一AB OX dX (3)Otr(X'AXB)= AXB+ AX OX 证利用15.1节的(7),我们有
atr(X'4XB)- tr(E:AXB)+ tI(XAE B). 因此 atr(X'AXB) atr(XAXB) oX E x ∑∑[r(e;AXBe;)+tr(eBx'Ae,)]En AXB+AXB (4)若 0f(X) (E;4),则 aX 证由于 E:id) 故结论得证。囗 利用(4),我们可以容易地计算一些有用的导数。 (5)若X〓(x)是 非异阵,则 0|x X(X) bx2|x(x-)-dig(xu,…,xn)若x-x, 其中X是X的余因子, 证设 X X X 由于 X|一∑*;x浮 故我们有 X (E#z) 利用(4) aX XI(X
若XmX,则 OX a E十E)Z] X+H若i≠j 和 0!X x 结论得证。0 类似地,我们能够求得 alog XL-〔x) OX I XI[2(x)-dia 11萝 Xn)若XX 和 」AXB I AXB!A(BXA)"B atr(AX=I4 OX A+d- diagram, )若X一X 其中A一(a) 以下的定理建立了矩阵关于标量的导数和矩阵的标量函数关 于矩阵的导数之间的关系 定理151设XY,A,B,C和D分别是mX群,p P×m,n×q,P×n和m×q矩阵。下列的事实是等价的 (1)0〓AE,(m,n)B+CE∷(m,n)D x AE∷(,q)B"+DE(P,q)C, aX P;1=1 证结论可由下式推出 K(An, B+CE De;"(ci de, (c Be,)+(e Cee Dei) (eidei cBcs)+(e Dei (e:Ces) dEHB"十DEC)
这里 利用定理151,我们通常能够由8Y/x求得0yi/0X。例 如,若Y一AXB,则我们有 Y AE rrb 因此 ayi A E: B 类似地,我们可以求出 oy i--(x-IyA'EiB(X), OX 如YAx1B,还可求出 aX AXE i+4XE 如果Y-KAX 1.53向量的导数 定义153设x和y分别是n维和m维向量,我们把向量 y关于向量x的导数定义为矩阵 y dx (153) ax ar 定理152(对向量的连锁法则)设x-(x,…,其),y )和 ).则 (154) dy dz ax ax 证因对i-1,…,n和j-1,…,P,我们有 dy U x(2:):.) 24